Трансформация на Лаплас

Трансформацията на Лаплас е широкоизползван математически метод за анализ на линейни системи, чиито характеристики не се променят с времето (на английски Linear Time-Invariant Systems, LTI). Наречена е на името на френския математик Пиер Симон дьо Лаплас, който я използвал в своята работа върху теорията на вероятностите. Откривателят ѝ е брилянтният швейцарски математик Леонард Ойлер.

Трансформацията на Лаплас намира приложение във физиката, оптиката, електрониката, автоматиката, математическия анализ, теорията на вероятностите и обработката на сигнали.

Дефиниция

При дадена $f(t), t \ge 0,$ трансформацията на Лаплас се дефинира като

$\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt,$

където $f(t)$ обикновено е функция, зависеща от времето. Резултатът е функция, дефинирана в областта на комплексната честота $s$, като $s = \sigma + i \omega. \,$. Долната граница на интеграла ${0^-}$ означава $\lim_{\epsilon \rightarrow +0} \int_{-\epsilon}^{\infty} \$, идеята на което е да се включи в интегралната трансформация делта-функцията на Дирак $\delta (t) \$ (наричана още "импулс").

Свойствата на тази трансформация да преобразува диференцирането и интегрирането съответно в умножение и деление, позволяват да се преобразуват интегро-диференциални уравнения в полиномни, които са много по-лесни за решаване.

Обратна трансформация на Лаплас

Обратната трансформация на Лаплас е комплексният интеграл на Бромич:

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} = \frac{1}{2 \pi \imath} \int_{ \gamma - \imath \infty}^{ \gamma + \imath \infty} e^{st} F(s)\,ds,$

въпреки че в практиката тази формула се използва рядко. В инженерните науки и много често в математиката се прибягва до таблици с функции и техните трансформации, както и до широко използване на свойствата на трансформацията на Лаплас.

Свойства

От дефиницията е ясно, че става въпрос за интегрална трансформация