Тригонометричен полином

Тригонометричен полином е израз от вида

$P(t)=\sum_{n=-N}^N a_n e^{i n t}.$

Числата $a_n\in\mathbb{C}$ се наричат коефициенти на полинома $P(t)$, а най-голямото n, такова че $|a_n|+|a_{-n}|\neq0$ се нарича степен на полинома. Индексът n е целочислен, за да може функцията $e^{int}, n\in\mathbb{Z}$ да бъде интегруема в интервала $\mathbb{T}=[0,2\pi)$. Тогава изразът $P(t)$ дефинира функция, която е абсолютно интегруема и принадлежи на $L^1(\mathbb{T})$.

Друг начин за записване на полинома е като преобразуваме сбора по формулата на Ойлер:

$P(t) = \sum_{n=-N}^N a_n \cos (nt) + \mathrm{i}\sum_{n=-N}^N a_n \sin(nt) \qquad (t \in \mathbf{R}).$

Ако е известна функцията $P(t)$, коефициентите на полинома $a_n$ могат да се пресметнат по формулата

$a_n=\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb{T}}P(t)e^{-int}dt$,

понеже интегралът $\int_{\mathbb{T}}e^{int}dt$ е ненулев само ако $n=0$.

Тригонометричните полиноми са частен случай на редове на Фурие.

Тригонометричен полином от степен n може да има най-много n корена в интервала $[0,2\pi)$.

Теорема на Вайерщрас за тригонометричните полиноми

Частен случай на теоремата на Вайерщрас е твърдението, че тригонометричните полиноми са навсякъде гъсти в пространството на непрекъснатите функции $C(\mathbb{T})$ с норма $\|f\|_\infty=\max_{t\in\mathbb{T}}|f(t)|$.

Конволюция

Конволюцията на тригонометричен полином $P(t)$ с функция $f\in L^1(\mathbb{T})$ се използва често в хармоничния анализ. Тя се изразява с формулата:

$P(t)=\sum_{n=-N}^Na_ne^{int} (P\ast f)(t)=\sum_{n=-N}^Na_n\hat f(n)e^{int}.$

Приложения

Ядрата на Дирихле, Поасон, Фейер, Вале-Пусен и други редици от тригонометрични полиноми се използват за да се апроксимира реда на Фурие на f с определена точност.