Тригонометричен полином

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Тригонометричен полином е израз от вида

P(t)=\sum_{n=-N}^N a_n e^{i n t}.

Числата a_n\in\mathbb{C} се наричат коефициенти на полинома P(t), а най-голямото n, такова че |a_n|+|a_{-n}|\neq0 се нарича степен на полинома. Индексът n е целочислен, за да може функцията e^{int}, n\in\mathbb{Z} да бъде интегруема в интервала \mathbb{T}=[0,2\pi). Тогава изразът P(t) дефинира функция, която е абсолютно интегруема и принадлежи на L^1(\mathbb{T}).

Друг начин за записване на полинома е като преобразуваме сбора по формулата на Ойлер:

P(t) = \sum_{n=-N}^N a_n \cos (nt) + \mathrm{i}\sum_{n=-N}^N a_n \sin(nt) \qquad (t \in \mathbf{R}).

Ако е известна функцията P(t), коефициентите на полинома  a_n могат да се пресметнат по формулата

a_n=\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb{T}}P(t)e^{-int}dt,

понеже интегралът \int_{\mathbb{T}}e^{int}dt е ненулев само ако n=0.

Тригонометричните полиноми са частен случай на редове на Фурие.

Тригонометричен полином от степен n може да има най-много n корена в интервала [0,2\pi).

Теорема на Вайерщрас за тригонометричните полиноми[редактиране | edit source]

Частен случай на теоремата на Вайерщрас е твърдението, че тригонометричните полиноми са навсякъде гъсти в пространството на непрекъснатите функции C(\mathbb{T}) с норма \|f\|_\infty=\max_{t\in\mathbb{T}}|f(t)|.

Конволюция[редактиране | edit source]

Конволюцията на тригонометричен полином P(t) с функция f\in L^1(\mathbb{T}) се използва често в хармоничния анализ. Тя се изразява с формулата:

P(t)=\sum_{n=-N}^Na_ne^{int} (P\ast f)(t)=\sum_{n=-N}^Na_n\hat f(n)e^{int}.

Приложения[редактиране | edit source]

Ядрата на Дирихле, Поасон, Фейер, Вале-Пусен и други редици от тригонометрични полиноми се използват за да се апроксимира реда на Фурие на f с определена точност.