Тригонометрична функция

Тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, котангес, секанс, косеканс

Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли. Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:

• отношение на две страни на правоъгълен триъгълник;
• координати на точка от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център — началото на координатната система).

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като

• решения на някои диференциални уравнения

или като

• безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.

Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник

Разглеждаме правоъгълен триъгълник в евклидовата равнина, поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на π. Следователно $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}$.

Дефиниции

Синус на ъгъл $\alpha$ е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:

$\sin\alpha=\frac{a}{c}$.

Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл $\alpha$, тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл $\alpha$ са подобни.

Косинус на ъгъл $\alpha$ е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:

$\cos\alpha=\frac{b}{c}$.

Тангенс на ъгъл $\alpha$ е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:

$\operatorname{tg}\,\alpha=\frac{a}{b}$.

Котангенс на ъгъл $\alpha$ е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:

$\operatorname{ctg}\,\alpha=\frac{b}{a}$.

Секанс на ъгъл $\alpha$ е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:

$\sec\alpha=\frac{c}{b}$.

Косеканс на ъгъл $\alpha$ е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:

$\operatorname{cosec}\,\alpha=\frac{c}{a}$.

В таблицата са показани най-основните връзки между тригонометричните функции. За още връзки вижте тригонометрични тъждества.

Функция	Означ.	Връзка	Дефиниционна област	Приема стойности
Синус	sin	$\sin \phi = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right) \,$	всяко φ	[–1; 1]
Косинус	cos	$\cos \phi = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right)\,$	всяко φ	[–1; 1]
Тангенс	tg	$\operatorname{tg} \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right) \,$	всяко φ, без φ = kπ, k — цяло число	$(-\infty; +\infty)$
Котангенс	cotg или ctg	$\operatorname{ctg} \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi} = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} - \phi \right) \,$	всяко φ, без φ = π/2 + kπ, k — цяло число	$(-\infty; +\infty)$

Тригонометричните функции, дефинирани чрез единичната окръжност

Всички тригонометрични функции от ъгъл φ могат да се дефинират чрез радиус-вектора и единичната окръжност или чрез отношения в правоъгълен триъгълник

Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и с оси OX и OY. В тази координатна система разглеждаме окръжност с център О и радиус, равен на единица. Нека завъртим отсечката ОА на произволен ъгъл $\vartheta$ около О.

Синус на ъгъла $\vartheta$ се нарича отношението на абсцисата на точката А към дължината на отсечката ОА. Тъй като дължината на ОА е равна на 1,

$\sin\vartheta={AC}$.

По същия начин

$\cos\vartheta={OC}$.

Тангенс на ъгъла $\vartheta$ се нарича отношението на ординатата на точката А към нейната абсциса, т.е.

$\operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{AC}{OC}$, $\operatorname{tg}\,\vartheta=\frac{\sin\vartheta}{\cos\vartheta}$.

За котангенса имаме

$\operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{OC}{AC}$, $\operatorname{ctg}\,\vartheta=\frac{\cos\vartheta}{sin\vartheta}$.

Тригонометричните функции като редове

Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър стигаме до представяне на синуса и косинуса като степенни редове.

$\sin x = x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\cos x = 1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$.

$\operatorname{tg}\,x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right)$

където B_n са числата на Бернули.

$\sec x = 1+\frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \frac{277x^8}{8064} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n}$

където Е_n са числата на Ойлер.

Свойства на тригонометричните функции

Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс — нечетни, т.е.

$\sin \left( - x \right) = - \sin x$,

$\cos \left( - x \right) = \cos x$,

$\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - x \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, x$,

$\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - x \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, x$.

За остри ъгли $\alpha < \frac{\pi}{2}\,\!$ е изпълнено

$\sin \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha$,

$\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha$,

$\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha$,

$\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha$.

За ъгли $0 < \alpha < \pi \,\!$ е изпълнено

$\sin \left( \pi - \alpha \right) = \sin \alpha$,

$\cos \left( \pi - \alpha \right) = - \cos \alpha$,

$\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \pi - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha, \qquad \alpha \ne \frac{\pi}{2}$.

Да разгледаме триъгълника ABC (вж. черт.). По теоремата на Питагор имаме

$\left(AC \right)^2 + \left(BC \right)^2 = \left(AB \right)^2$,

и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

== Източници ==

Източници

• Тригонометрические функции — статия в Уикипедия на руски език [30 януари 2008 г.].

Вижте също

• Аркуссинус
• Списък с интеграли на тригонометрични функции
• Обратни тригонометрични функции