Триъгълник на Паскал

Триъгълникът на Паскал е аритметичен триъгълник, съдържащ биномните коефициенти.

Тъждеството

${n\choose k}={n-1\choose k-1} + {n-1\choose k}$

позволява да се разположат биномните коефициенти за неотрицателни n, k във вид на триъгълника Паскал, в който всяко число е равно на сумата от двете числа над него:

$\begin{matrix} n=0: & & & & & 1 & & & &\\ n=1: & & & & 1 & & 1 & & &\\ n=2: & & & 1 & & 2 & & 1 & &\\ n=3: & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 &\\ n=4: & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1\\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & \end{matrix}$

Триъгълната таблица е предложена от Блез Паскал в "Трактат за аритметичния триъгълник" през 1654 г.

Таблици за биномни коефициенти са известни и преди Паскал — у Тарталия и Омар Хаям.

Всеки елемент — в n-ти ред на k-та позиция — в триъгълника притежава аритметично (вж. частта Нютонов бином по-долу) и комбинаторно тълкуване и в зависимост от това се означава с ${n \choose k}$ - чете се (биномен коефициент) n над k или $C^n_k$ - комбинация (без повторение) на k от n елемента.

Всяко число от вътрешността на триъгълника е сума от двете числа, непосредствено разположени над него. Математически това свойство се записва по следния начин:

${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$

и се нарича правило на Паскал.

Тази формула лесно се обобщава за пирамида в тримерното пространство, както и за други n-мерни обобщения на триъгълника.

Комбинаторика

Триъгълникът на Паскал се явява като правило за бързо смятане на комбинации, откъдето идва и неговата важност в комбинаториката и теорията на вероятностите.

Нютонов бином

Едно от най-важните приложения на триъгълника на Паскал е във формулата на Нютоновия бином. Той представлява развитието на израза (a+b)ⁿ:

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^kb^{n-k}$

или

(x + y)ⁿ = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹y + a₂xⁿ⁻²y² + … + a_n−1xyⁿ⁻¹ + a_nyⁿ,

като a₁, a₂, a₃, ... , a_n е поредният номер на елемента от реда n.

Например, ако искаме да развием :(x + y)², трябва да разгледаме втория ред от триъгълника на Паскал (всъщност третия, защото първият отговаря на n = 0). Коефициентите пред него са 1, 2 и 1, откъдето и познатата ни формула

(x + y)² = 1x²y⁰ + 2x¹y¹ + 1x⁰y² = x² + 2xy + y².

Биномната теорема е обща теорема, а използването на триъгълника на Паскал е улеснение при прилагането на тази теорема.

Чрез биномната теорема можем да сметнем сбора на елементите от даден ред в триъгълника на Паскал:

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k} = \sum_{k=0}^n{n \choose k}1^k1^{n-k} = (1 + 1)^n = 2^n,$

т. е. сборът от всички елементи от даден ред е 2ⁿ. Така сборът на елементите от 2-рия ред е 4, а на тези от десетия - 1024.

Коефициенти до десети ред

На долната фигура са показани елементите на триъгълника до n = 10:

---