Триъгълник на Паскал

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Триъгълникът на Паскал е аритметичен триъгълник[1], съдържащ биномните коефициенти.

Тъждеството

{n\choose k}={n-1\choose k-1} + {n-1\choose k}

позволява да се разположат биномните коефициенти за неотрицателни n, k във вид на триъгълника Паскал, в който всяко число е равно на сумата от двете числа над него:

\begin{matrix}
n=0: &   &   &   &   & 1 &   &   &   &\\
n=1: &   &   &   & 1 &   & 1 &   &   &\\
n=2: &   &   & 1 &   & 2 &   & 1 &   &\\
n=3: &   & 1 &   & 3 &   & 3 &   & 1 &\\
n=4: & 1 &   & 4 &   & 6 &   & 4 &   & 1\\
\vdots &   & \vdots  &  & \vdots &   & \vdots &   & \vdots &
\end{matrix}

Триъгълната таблица е предложена от Блез Паскал в "Трактат за аритметичния триъгълник" през 1654 г.

Таблици за биномни коефициенти са известни и преди Паскал — у Тарталия и Омар Хаям.

Всеки елемент — в n-ти ред на k-та позиция — в триъгълника притежава аритметично (вж. частта Нютонов бином по-долу) и комбинаторно тълкуване и в зависимост от това се означава с {n \choose k} - чете се (биномен коефициент) n над k или C^n_k - комбинация (без повторение) на k от n елемента.

Всяко число от вътрешността на триъгълника е сума от двете числа, непосредствено разположени над него. Математически това свойство се записва по следния начин:

 {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}

и се нарича правило на Паскал.

Тази формула лесно се обобщава за пирамида в тримерното пространство, както и за други n-мерни обобщения на триъгълника.


Бележки[редактиране | edit source]

  1. термин в математиката, който означава подреждане в триъгълна форма на двойно индексирани числа, полиноми и др. така, че всеки ред съдържа толкова члена, колкото е собственият му индекс

Комбинаторика[редактиране | edit source]

Триъгълникът на Паскал се явява като правило за бързо смятане на комбинации, откъдето идва и неговата важност в комбинаториката и теорията на вероятностите.

Нютонов бином[редактиране | edit source]

Едно от най-важните приложения на триъгълника на Паскал е във формулата на Нютоновия бином. Той представлява развитието на израза (a+b)n:

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^kb^{n-k}
или
(x + y)n = a0xn + a1xn−1y + a2xn−2y2 + … + an−1xyn−1 + anyn,

като a1, a2, a3, ... , an е поредният номер на елемента от реда n.

Например, ако искаме да развием :(x + y)2, трябва да разгледаме втория ред от триъгълника на Паскал (всъщност третия, защото първият отговаря на n = 0). Коефициентите пред него са 1, 2 и 1, откъдето и познатата ни формула

(x + y)2 = 1x2y0 + 2x1y1 + 1x0y2 = x2 + 2xy + y2.

Биномната теорема е обща теорема, а използването на триъгълника на Паскал е улеснение при прилагането на тази теорема.

Чрез биномната теорема можем да сметнем сбора на елементите от даден ред в триъгълника на Паскал:

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k} = \sum_{k=0}^n{n \choose k}1^k1^{n-k} = (1 + 1)^n = 2^n,

т. е. сборът от всички елементи от даден ред е 2n. Така сборът на елементите от 2-рия ред е 4, а на тези от десетия - 1024.


Коефициенти до десети ред[редактиране | edit source]

На долната фигура са показани елементите на триъгълника до n = 10:


Pascal triangle.png