Триъгълник на Паскал

Триъгълникът на Паскал е аритметичен триъгълник, съдържащ биномните коефициенти.

Тъждеството

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$

позволява да се разположат биномните коефициенти за неотрицателни $n$, $k$ във вид на триъгълника Паскал, в който всяко число е равно на сумата от двете числа над него:

${\begin{matrix}n=0:&&&&&1&&&&\\n=1:&&&&1&&1&&&\\n=2:&&&1&&2&&1&&\\n=3:&&1&&3&&3&&1&\\n=4:&1&&4&&6&&4&&1\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\end{matrix}}$

Триъгълната таблица е предложена от Блез Паскал в „Трактат за аритметичния триъгълник“ през 1654 г.

Таблици за биномни коефициенти са известни и преди Паскал – у Николо Тарталя и Омар Хаям.

Всеки елемент – в n-ти ред на k-та позиция – в триъгълника притежава аритметично (вж. частта Нютонов бином по-долу) и комбинаторно тълкуване и в зависимост от това се означава с ${n \choose k}$ – чете се (биномен коефициент) n над k или $C_{k}^{n}$ – комбинация (без повторение) на k от n елемента.

Всяко число от вътрешността на триъгълника е сума от двете числа, непосредствено разположени над него. Математически това свойство се записва по следния начин:

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$

и се нарича правило на Паскал.

Тази формула лесно се обобщава за пирамида в тримерното пространство, както и за други n-мерни обобщения на триъгълника.

Комбинаторика

Триъгълникът на Паскал е като правило за бързо смятане на комбинации, откъдето идва и неговата важност в комбинаториката и теорията на вероятностите.

Нютонов бином

Едно от най-важните приложения на триъгълника на Паскал е във формулата на Нютоновия бином. Той представлява развитието на израза (a+b)ⁿ:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$

или

(x + y)ⁿ = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹y + a₂xⁿ⁻²y² + … + a_n−1xyⁿ⁻¹ + a_nyⁿ,

като a₁, a₂, a₃, …, a_n е поредният номер на елемента от реда n.

Например ако искаме да развием:(x + y)², трябва да разгледаме втория ред от триъгълника на Паскал (всъщност третия, защото първият отговаря на n = 0). Коефициентите пред него са 1, 2 и 1, откъдето и познатата ни формула

(x + y)² = 1x²y⁰ + 2x¹y¹ + 1x⁰y² = x² + 2xy + y².

Биномната теорема е обща теорема, а използването на триъгълника на Паскал е улеснение при прилагането на тази теорема.

Чрез биномната теорема можем да сметнем сбора на елементите от даден ред в триъгълника на Паскал:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}1^{k}1^{n-k}=(1+1)^{n}=2^{n},$

т.е. сборът от всички елементи от даден ред е 2ⁿ. Така сборът на елементите от 2-рия ред е 4, а на тези от десетия – 1024.

Коефициенти до десети ред

На долната фигура са показани елементите на триъгълника до n = 10:

Връзка с тетраедралните числа

${\begin{array}{c}\\1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\{\underline {1}}\quad 3\quad 3\quad {\underline {1}}\\1\quad {\underline {4}}\quad 6\quad {\underline {4}}\quad 1\\1\quad 5\quad {\underline {10}}\quad {\underline {10}}\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad {\underline {20}}\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad {\underline {35}}\quad {\underline {35}}\quad 21\quad 7\quad 1\\\\\end{array}}$

Триъгълник на Паскал с подчертани тетраедралните числа

Тетраедралните числа присъстват в триъгълника на Паскал на 4-то място (от ляво надясно или обратно) на всеки ред след 3-тия.