Уравнение на Фокер-Планк

Уравнението на Фокер-Планк е частно диференциално уравнение, чието решение е плътността на вероятността за преход в марковски процес. Търсената плътност на вероятността може да е тази на скоростта, но уравнението може да бъде обобщено и за други наблюдаеми физически величини. Първоначално, уравнението е написано за изследване на брауновото движение. Уравнението на Лиувил е частен случай на уравнението на Фокер-Планк за нулева дифузия.

Едномерно

В едномерно пространство x, за процес на Ито с дадено стохастично диференциално уравнение

$dX_t = \mu(X_t,t)dt + \sqrt{2 D(X_t,t)}dW_t,$

отклонение $\mu(X_t,t)$ и дисперсионен коефициент $D(X_t,t)$, уравнението на Фокер-Планк за вероятностната плътност $f(x,t)$ на случайната величина $X_t$ е

$\frac{\partial}{\partial t}f(x,t) = -\frac{\partial}{\partial x}\left[\mu(x,t)f(x,t)\right] + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[ D(x,t)f(x,t)\right].$

Връзката между стохастичното диференциално уравнение и частното диференциално уравнение са задава от формулата на Фейнман-Кахц. Предхождащият стохастичен процес се задава, в рамките на интеграла на Стратонович, чрез:

$dX_t = \left[\mu(X_t,t) - \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial X_t}D(X_t,t)\right]dt + \sqrt{2 D(X_t,t)}dW_t.$