Уравнение на Шрьодингер

Тази статия е част от серията статии на тема Квантова механика

$\hat{H}|\psi\rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle$  $\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$ Основни понятия Вълнова функция ⋅ Квантово състояние ⋅ Преплитане ⋅ Съотношение на неопределеност на Хайзенберг ⋅ Корпускулярно-вълнов дуализъм ⋅ Принцип на Паули ⋅ Принцип на съответствието ⋅ Константа на Планк ⋅ Квант ⋅ Тунелен преход Теории Уравнение на Шрьодингер ⋅ Квантова електродинамика ⋅ Квантова теория на полето ⋅ Диаграми на Файнман Експерименти Котка на Шрьодингер ⋅ Парадокс на Айнщайн-Подолски-Розен ⋅ Квантова телепортация ⋅ Фотоелектричен ефект Статистики Статистика на Максуел-Болцман ⋅ Статистика на Ферми-Дирак ⋅ Статистика на Бозе-Айнщайн Физици Макс Планк · Луи дьо Бройл · Ервин Шрьодингер · Вернер Хайзенберг · Нилс Бор · Волфганг Паули · Макс Борн · Пол Дирак · Джон фон Нойман · Алберт Айнщайн · Дейвид Бом · Ричард Файнман · Хю Еверет · Юджин Уигнър

Уравнението на Шрьодингер е постулат в квантовата механика. То е частно диференциално уравнение от втори ред за еволюцията на вълновата функция:

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec{r},t) \;=\; - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec{r},t) + V(\vec{r},t) \psi(\vec{r},t)$

или съкратено:

$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\widehat H(t)\psi\,,$

където $\widehat H(t)$ е (евентуално) зависещия от времето $t$ оператор на Хамилтон за дадената система. В случаите, когато потенциалът $V$ не зависи явно от времето, енергията на системата е интеграл на движението и вълновата функция може да се представи като произведение на осцилиращ член $\exp(-i \frac{E}{\hbar}t)$ (където $E$ е енергията на системата), който не зависи от координатите и временезависима координатна част $\psi(\vec{r})$, която се намира като решение на т.нар. стационарно уравнение на Шрьодингер:

$\widehat H \psi = E \psi$

или

$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec{r}) + (E - V(\vec{r}))\psi(\vec{r}) = 0$

Уравнението на Шрьодингер представлява еволюцията на вълновата функция в представяне на Шрьодингер.

Извод

Кратък евристичен извод

Следващият евристичен подход, макар и различен от този, който следва Шрьодингер, много добре илюстрира логиката и физическите съображения при извода.

Допускания

1. Пълната енергия E на една частица е

   $E = T + V = \frac{p^2}{2m}+V.$

   Това е класически израз за частица с маса m, където пълната енергия E е сума от кинетичната енергия $T = \frac{p^2}{2m}$ и потенциалната енергия V (която може да се променя с местоположението и времето). p и m са съответно импулса и масата на частицата.

2. Хипотезата на Айнщайн за квантите на светлината от 1905 г., съгласно която енергията E на фотона е пропорционална на честотата ν (или ъгловата честота, ω = 2πν) на съответстващата електромагнитна вълна:

   $E = h\nu = {h \over 2\pi} (2\pi \nu)= \hbar \omega \;,$

   където честотата $\nu$ на фотона е свързана с константата на Планк h,

   и $\omega = 2\pi \nu;$ е ъгловата честота на вълната.

3. Хипотезата на дьо Бройл от 1924 г., съгласно която всяка частица може да бъде асоцирана с вълна, а също и че импулсът на частицата p е свързан с дължината на вълната λ (или вълновото число k) по следния начин:

   $p = { h \over \lambda } = { h \over 2\pi } {2\pi \over \lambda} = \hbar k\;$

   където $\lambda\,$ е дължината на вълната, а $k = 2\pi / \lambda\;$ — нейното вълново число.

   Изразявайки p и k като вектори, имаме

   $\mathbf{p} =\hbar \mathbf{k}\;.$

Тези три допускания позволяват да изведем уравнението само за плоска вълна. За да е валидно в общия случай е необходимо да включим в допущанията и принципа за суперпозицията, като по този начин постулираме, че уравнението на Шрьодингер е линейно.

Изразяване на вълновата функция като комплексна плоска вълна

Голямото прозрение на Шрьодингер през 1925 г. е да изрази фазата на плоската вълна като комплексен фазов фактор

$\Psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}$

и да си да даде сметка, че доколкото

$\frac{\partial}{\partial t} \Psi = -i\omega \Psi$,

то

$E \Psi = \hbar \omega \Psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi$

По подобен начин от

$\frac{\partial}{\partial x} \Psi = i k_x \Psi$

и

$\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi = - k_x^2 \Psi$

се стига до

$p_x^2 \Psi = (\hbar k_x)^2 \Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi$

така че, отново за плоска вълна, той получава:

$p^2 \Psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \Psi = -\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \Psi = -\hbar^2\nabla^2 \Psi$

След като заместим тези изрази за енергията и импулса в класическата формула, с която започнахме, получаваме прочутото уравнение на Шрьодингер за единична частица в три измерения при наличие на потенциал V:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi$

Виж още

• Котка на Шрьодингер