Уравнение на Шрьодингер

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Серия статии на тема

Квантова механика

\hat{H}|\psi\rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\psi\rangle  \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}

Уравнението на Шрьодингер е постулат в квантовата механика. То е частно диференциално уравнение от втори ред за еволюцията на вълновата функция:

i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec{r},t) \;=\; - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec{r},t) + V(\vec{r},t) \psi(\vec{r},t)

или съкратено:

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\widehat H(t)\psi\,,

където \widehat H(t) е (евентуално) зависещия от времето t оператор на Хамилтон за дадената система. В случаите, когато потенциалът V не зависи явно от времето, енергията на системата е интеграл на движението и вълновата функция може да се представи като произведение на осцилиращ член \exp(-i \frac{E}{\hbar}t) (където E е енергията на системата), който не зависи от координатите и временезависима координатна част \psi(\vec{r}), която се намира като решение на т.нар. стационарно уравнение на Шрьодингер:

\widehat H \psi = E \psi

или

-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec{r}) + (E - V(\vec{r}))\psi(\vec{r}) = 0

Уравнението на Шрьодингер представлява еволюцията на вълновата функция в представяне на Шрьодингер.

Извод[редактиране | edit source]

Кратък евристичен извод[редактиране | edit source]

Следващият евристичен подход, макар и различен от този, който следва Шрьодингер, много добре илюстрира логиката и физическите съображения при извода.

Допускания[редактиране | edit source]

  1. Пълната енергия E на една частица е
    E = T + V = \frac{p^2}{2m}+V.
    Това е класически израз за частица с маса m, където пълната енергия E е сума от кинетичната енергия T = \frac{p^2}{2m} и потенциалната енергия V (която може да се променя с местоположението и времето). p и m са съответно импулса и масата на частицата.
  2. Хипотезата на Планк за квантите на светлината от 1905 г., съгласно която енергията E на фотона е пропорционална на честотата ν (или ъгловата честота, ω = 2πν) на съответстващата електромагнитна вълна:
    E = h\nu = {h \over 2\pi} (2\pi \nu)= \hbar \omega \;,
    където честотата  \nu на фотона е свързана с константата на Планк h,
    и \omega = 2\pi \nu; е ъгловата честота на вълната.
  3. Хипотезата на дьо Бройл от 1924 г., съгласно която всяка частица може да бъде асоцирана с вълна, а също и че импулсът на частицата p е свързан с дължината на вълната λ (или вълновото число k) по следния начин:
    p = { h \over \lambda }  =  { h \over 2\pi } {2\pi \over \lambda} = \hbar k\;
    където \lambda\, е дължината на вълната, а k = 2\pi / \lambda\; — нейното вълново число.
    Изразявайки p и k като вектори, имаме
    \mathbf{p} =\hbar \mathbf{k}\;.

Тези три допускания позволяват да изведем уравнението само за плоска вълна. За да е валидно в общия случай е необходимо да включим в допущанията и принципа за суперпозицията, като по този начин постулираме, че уравнението на Шрьодингер е линейно.

Изразяване на вълновата функция като комплексна плоска вълна[редактиране | edit source]

Голямото прозрение на Шрьодингер през 1925 г. е да изрази фазата на плоската вълна като комплексен фазов фактор

\Psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}

и да си да даде сметка, че доколкото

 \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -i\omega \Psi ,

то

 E \Psi = \hbar \omega \Psi =  i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi

По подобен начин от

 \frac{\partial}{\partial x} \Psi = i k_x \Psi

и

 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi = - k_x^2 \Psi

се стига до

 p_x^2 \Psi = (\hbar k_x)^2 \Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi

така че, отново за плоска вълна, той получава:

 p^2 \Psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \Psi = -\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \Psi = -\hbar^2\nabla^2 \Psi

След като заместим тези изрази за енергията и импулса в класическата формула, с която започнахме, получаваме прочутото уравнение на Шрьодингер за единична частица в три измерения при наличие на потенциал V:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi

Виж още[редактиране | edit source]