Уравнения на Коши-Риман

Уравненията на Коши-Риман представляват система от две частни диференциални уравнения, които гарантират, че една функция дефинирана в комплексната равнина C със стойности в C притежава първа частна производна в смисъла на комплексния анализ.

Производна на комплексна функция

Нека U бъде отворено подмножество на C и f : U → C бъде комплекснозначна функция дефинирана върху U. Казваме, че f е комплексно-диференцируема в точка z₀ от U ако границата

$f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }$

съществува.

Границата тук се взима по всички редици от комплексни числа клонящи към z₀, и за всички тях горният израз трябва да клони към едно и също число, което се означава с f '(z₀). Това число се нарича производна на функцията f в точката z₀.

Формулировка на уравненията на Коши-Риман

Нека f(x + iy) = u + iv е комплекснозначна функция от отворено подмножество на C в C, където x, y, u, и v са реални, като u и v са функции с реални стойности дефинирани върху отворено подмножество на R², които притежават първи частни производни. Тогава f е диференцируема в точка z₀ тогава и само тогава, когато са изпълнени уравненията на Коши-Риман, които гласят:

${ \partial u \over \partial x } (z_0) = { \partial v \over \partial y } (z_0)$

и

${ \partial u \over \partial y } (z_0) = -{ \partial v \over \partial x } (z_0) .$

Извеждане на уравненията

Разглеждаме функция f(z) = u(x, y) + i v(x, y) със стойности в C. Искаме тази функция да притежава производна в точка z₀ (тогава функцията е диференцируема в z₀). Както споменахме, за да съществува производната в дадена точка е необходимо границата

$f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }$

да съществува и да една и съща по всички редици комплексни числа, клонящи към z₀. Тогава да разгледаме два случая: когато z клони към z₀ по направление успоредно на оста x, и когато клони по направление успоредно на оста y.

В първия случай имаме:

$f'(z)\,$	$=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+h)-f(z) \over h}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over h}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]\over h}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]}.$

Тази граница може да се раздели на сума от две граници, които представляват частни производни на u и v:

$f'(z)={\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x}.$

Във втория случай имаме:

$f'(z)\,$	$=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+ih)-f(z) \over ih}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over ih}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{ih} +i\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}\right]}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\right]}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}\right]}.$

Отново, тази граница може да се раздели на сума от две граници, които представляват частни производни на u и v:

$f'(z)={\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.$

Приравнявайки двете стойности за производната получаваме:

${\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.$

Приравняваме реалните и имагинерните части:

${\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}$

${\partial u \over \partial y} = - {\partial v \over \partial x}.$

Холоморфни функции

Уравненията на Коши-Риман често се използват за проверка дали една функция е холоморфна. За да бъде холоморфна една функция в дадена точка z₀ е необходимо тя да притежава производна както в z₀, така и във някаква околност на z₀. Тогава, ако имаме отворено подмножество U на комплексната равнина C и функцията f(z) = u(x, y) + i v(x, y), дефинирана в U, то f е холоморфна в U тогава и само тогава, когато u и v са непрекъснато диференцируеми в U и за всяка точка от U u и v удовлетворяват уравненията

${ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y }$

и

${ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x } .$