Формула на Кардàно e формула за намиране корените на кубично уравнение от каноничен вид,
y
3
+
p
y
+
q
=
0
{\displaystyle y^{3}+py+q=0}
кръстена на италианския математик Джироламо Кардано . Решението му е съобщено от друг италиански математик – Николо Фонтана Тарталя , който по-късно претендира, че Кардано се е заклел да не го публикува и влиза в десетгодишен спор с него.
С помощта на тази формула може да бъде решено и всяко кубично уравнение от общ вид
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,\,}
(
a
≠
0
)
{\displaystyle \,\,(a\neq 0)}
с коефициенти реални числа. Чрез помощно заместване
x
=
y
−
b
3
a
{\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}}}
се получава, че:
a
(
y
−
b
3
a
)
3
+
b
(
y
−
b
3
a
)
2
+
c
(
y
−
b
3
a
)
+
d
=
0
{\displaystyle a\left(y-{\frac {b}{3a}}\right)^{3}+b\left(y-{\frac {b}{3a}}\right)^{2}+c\left(y-{\frac {b}{3a}}\right)+d=0}
a
y
3
−
b
y
2
+
b
2
y
3
a
−
b
3
27
a
2
+
b
y
2
−
2
b
2
y
3
a
+
b
3
9
a
2
+
c
y
−
b
c
3
a
+
d
=
0
{\displaystyle ay^{3}-by^{2}+{\frac {b^{2}y}{3a}}-{\frac {b^{3}}{27a^{2}}}+by^{2}-{\frac {2b^{2}y}{3a}}+{\frac {b^{3}}{9a^{2}}}+cy-{\frac {bc}{3a}}+d=0}
Николо Тарталя
a
y
3
+
(
c
−
b
2
3
a
)
y
+
(
d
+
2
b
3
27
a
2
−
b
c
3
a
)
=
0
{\displaystyle ay^{3}+\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right)y+\left(d+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}-{\frac {bc}{3a}}\right)=0}
y
3
+
3
a
c
−
b
2
3
a
2
y
+
27
a
2
d
+
2
b
3
−
9
a
b
c
27
a
3
=
0
{\displaystyle y^{3}+{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}y+{\frac {27a^{2}d+2b^{3}-9abc}{27a^{3}}}=0}
По този начин
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
p
=
3
a
c
−
b
2
3
a
2
{\displaystyle p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}}
q
=
27
a
2
d
+
2
b
3
−
9
a
b
c
27
a
3
{\displaystyle q={\frac {27a^{2}d+2b^{3}-9abc}{27a^{3}}}}
Самата формула определя параметрите
Q
{\displaystyle Q}
D
{\displaystyle D}
Q
=
(
p
3
)
3
+
(
q
2
)
2
=
p
3
27
+
q
2
4
=
4
p
3
+
27
q
2
108
=
−
18
a
b
c
d
+
4
b
3
d
−
b
2
c
2
+
4
a
c
3
+
27
a
2
d
2
108
a
4
=
−
D
108
a
4
{\displaystyle Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}={\frac {4p^{3}+27q^{2}}{108}}={\frac {-18\,abcd+4\,b^{3}d-b^{2}c^{2}+4\,ac^{3}+27\,a^{2}d^{2}}{108a^{4}}}=-{\frac {D}{108a^{4}}}}
Q
=
−
D
108
a
4
{\displaystyle Q=-{\frac {D}{108a^{4}}}}
дискриминанта в уравнението
y
3
+
p
y
+
q
=
0
{\displaystyle y^{3}+py+q=0}
D
=
18
a
b
c
d
−
4
b
3
d
+
b
2
c
2
−
4
a
c
3
−
27
a
2
d
2
{\displaystyle D=18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}}
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}
Знаменателят
108
a
4
>
0
{\displaystyle 108a^{4}>0}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
В зависимост от D (и респективно от Q ) се определят какви ще бъдат корените на уравнението:
Ако
D
>
0
{\displaystyle D>0}
Q
<
0
{\displaystyle Q<0}
Ако
D
=
0
{\displaystyle D=0}
Q
=
0
{\displaystyle Q=0}
p
=
q
=
0
{\displaystyle p=q=0}
3
a
c
−
b
2
=
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
=
0
{\displaystyle 3ac-b^{2}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d=0}
Ако
D
<
0
{\displaystyle D<0}
Q
>
0
{\displaystyle Q>0}
Джироламо Кардано Според формулата на Кардано,
y
1
=
α
+
β
{\displaystyle y_{1}=\alpha +\beta }
y
2
=
−
α
+
β
2
+
i
3
(
α
−
β
)
2
{\displaystyle y_{2}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}(\alpha -\beta )}{2}}}
y
3
=
−
α
+
β
2
−
i
3
(
α
−
β
)
2
{\displaystyle y_{3}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}-{\frac {i{\sqrt {3}}(\alpha -\beta )}{2}}}
където е положeно
α
=
−
q
2
+
Q
3
=
−
q
2
+
p
3
27
+
q
2
4
3
{\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}}}
β
=
−
q
2
−
Q
3
=
−
q
2
−
p
3
27
+
q
2
4
3
{\displaystyle \beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}}}
Следователно:
x
1
=
y
1
−
b
3
a
{\displaystyle x_{1}=y_{1}-{\frac {b}{3a}}}
x
2
=
y
2
−
b
3
a
{\displaystyle x_{2}=y_{2}-{\frac {b}{3a}}}
x
3
=
y
3
−
b
3
a
{\displaystyle x_{3}=y_{3}-{\frac {b}{3a}}}
.jpg)
![{\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ea192e3c6280eecdd5ff0444b31827963a3f50)
![{\displaystyle \beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a264ff177b99bc2bb64cc01a605ca90a700215)
