Функция на Грийн

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката функция на Грийн (по името на Джордж Грийн (1793-1841), английски математик) е функция, която се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения при определени (зададени) гранични условия. Функцията се използва за преобразуване на частното диференциално уравнение в интегрално уравнение. Тя се получава от линейна задача с гранични стойности и представлява основната връзка между диференциалната и интегрална формулировки. Функцията се използва във физиката и по-специално в квантовата теория на полето, както и в електротехниката за задачи свързани с електромагнитното поле.

Функцията на Грийн осигурява метод за преформулиране на израза за източник (нехомогенността) g от диференциалното уравнение:

L\Phi(x)=g.

където L е линеен (диференциален) оператор - например \nabla^2, а \Phi(x) е неизвестната функция (величина). Например ако е дадена задачата на Дирихле:

\nabla^2\Phi(\mathbf{r})=g в област R

\Phi(B)=f на границата на областта R: B,

то тя се преформулира по следния начин:

\Phi=\int_R g(\mathbf{r'})G(\mathbf{r},\mathbf{r'})dv'+\oint_B f\frac{\partial G}{\partial n}dS

където n е сочещата навън от граничната повърхност B нормала, v' е обема на източника, a G(\mathbf{r},\mathbf{r'}) е функцията на Грийн. Както се вижда ако функцията G(\mathbf{r},\mathbf{r'}) е известна ще се получи и решение за \Phi. Задачата се предефинира като намиране на Грийн функцията за конкретния случай. Дефинира се функция, която удовлетворява равенството:

LG(\mathbf{r},\mathbf{r'})=\delta(\mathbf{r},\mathbf{r'}),

където \mathbf{r} и \mathbf{r'} са векторите на местоположението на точките на търсената величина (x,y,z) и съответно на източника (x',y',z'), a \delta(\mathbf{r},\mathbf{r'}) е делта функцията на Дирак (импулсна функция), която изчезва (приема стойност нула) при \mathbf{r}\ne\mathbf{r'} и удовлетворява равенството:

\int \delta(\mathbf{r},\mathbf{r'})g(\mathbf{r'})dv'=g(\mathbf{r})


Функция на Грийн в свободното пространство
Операторно уравнение Уравнение на Лаплас Квазистационарно уравнение на Хелмхолц Вълново уравнение на Хелмхолц
Решение \nabla^2G=\delta(\mathbf{r},\mathbf{r'}) \nabla^2G +k^2G=\delta(\mathbf{r},\mathbf{r'}) \nabla^2G-k^2G=\delta(\mathbf{r},\mathbf{r'})
Област G(\mathbf{r},\mathbf{r'}) G(\mathbf{r},\mathbf{r'}) G(\mathbf{r},\mathbf{r'})
Едномерна няма решение за (-∞,∞) -\frac{j}{2k}exp(jk|x-x'|) -\frac{1}{2k}exp(-k|x-x'|)
Двумерна \frac{1}{2\pi}ln|\rho-\rho'| -\frac{j}{4}H_0^{(1)}(k|\rho-\rho'|) -\frac{1}{2\pi}K_0(k|\rho-\rho'|)
Тримерна -\frac{1}{4\pi(\mathbf{r}-\mathbf{r'})} -\frac{exp(jk|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|)}{4\pi(\mathbf{r}-\mathbf{r'})} -\frac{exp(-k|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|)}{4\pi(\mathbf{r}-\mathbf{r'})}
Вълновото уравнение има времеви множител e^{j\omega t}, такъв, че k=\omega\sqrt{\mu\epsilon}

Виж още[редактиране | edit source]

Теореми на Грийн

Източници[редактиране | edit source]

  • Matthew N. O. Sadiku, Ph.D.. Numerical Techniques in Electromagnetics. CRC Press, 2001.