Функция на Грийн

В математиката, функция на Грийн (по името на Джордж Грийн (1793 – 1841), английски математик) е функция, която се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения при определени (зададени) гранични условия. Функцията се използва за преобразуване на частното диференциално уравнение в интегрално уравнение. Тя се получава от линейна задача с гранични стойности и представлява основната връзка между диференциалната и интегрална формулировки. Функцията се използва във физиката и по-специално в квантовата теория на полето, както и в електротехниката за задачи свързани с електромагнитното поле.

Функцията на Грийн осигурява метод за преформулиране на израза за източник (нехомогенността) $g$ от диференциалното уравнение:

$L\Phi (x)=g$ .

където $L$ е линеен (диференциален) оператор – например $\nabla ^{2}$ , а $\Phi (x)$ е неизвестната функция (величина). Например ако е дадена задачата на Дирихле:

$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=g$ в област $R$

$\Phi (B)=f$ на границата на областта $R$ : $B$ ,

то тя се преформулира по следния начин:

$\Phi =\int _{R}g(\mathbf {r'} )G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )dv'+\oint _{B}f{\frac {\partial G}{\partial n}}dS$

където $n$ е сочещата навън от граничната повърхност $B$ нормала, $v'$ е обема на източника, a $G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )$ е функцията на Грийн. Както се вижда ако функцията $G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )$ е известна ще се получи и решение за $\Phi$ . Задачата се предефинира като намиране на Грийн функцията за конкретния случай. Дефинира се функция, която удовлетворява равенството:

$LG(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )=\delta (\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )$ ,

където $\mathbf {r}$ и $\mathbf {r'}$ са векторите на местоположението на точките на търсената величина (x,y,z) и съответно на източника (x',y',z'), a $\delta (\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )$ е делта функцията на Дирак (импулсна функция), която изчезва (приема стойност нула) при $\mathbf {r} \neq \mathbf {r'}$ и удовлетворява равенството:

$\int \delta (\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )g(\mathbf {r'} )dv'=g(\mathbf {r} )$

**Функция на Грийн в свободното пространство**
Операторно уравнение	Уравнение на Лаплас	Квазистационарно уравнение на Хелмхолц	Вълново уравнение на Хелмхолц
Решение	$\nabla ^{2}G=\delta (\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )$	$\nabla ^{2}G+k^{2}G=\delta (\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )$	$\nabla ^{2}G-k^{2}G=\delta (\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )$
Област	$G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )$	$G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )$	$G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )$
Едномерна	няма решение за (-∞,∞)	$-{\frac {j}{2k}}exp(jk\|x-x'\|)$	$-{\frac {1}{2k}}exp(-k\|x-x'\|)$
Двумерна	${\frac {1}{2\pi }}ln\|\rho -\rho '\|$	$-{\frac {j}{4}}H_{0}^{(1)}(k\|\rho -\rho '\|)$	$-{\frac {1}{2\pi }}K_{0}(k\|\rho -\rho '\|)$
Тримерна	$-{\frac {1}{4\pi (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}}$	$-{\frac {exp(jk\|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \|)}{4\pi (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}}$	$-{\frac {exp(-k\|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \|)}{4\pi (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}}$