Функция на Дирихле

Функцията на Дирихле (на името на Петер Густав Льожон Дирихле) е функция над множеството на реалните числа, която приема стойност 1 за всички рационални числа и стойност 0 за всички ирационални числа. Функцията е дефинирана по следния начин:

$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$,

където Q е множеството на рационалните числа, а R – множеството на реалните числа.

Тя е пример за:

• прекъсната във всяка точка функция,
• функция, която не може да се интегрира по Риман, но може да се интегрира по Лебег,
• функция от втори клас в класификацията на Бер с представяне:

$D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}m!\pi x,$

Риманов интеграл

Функцията на Дирихле не е интегруема по Риман в нито един интервал, понеже при всяко разбиване Z на интервала във всеки подинтервал $\left[x_{k-1},x_{k}\right]$ има винаги както рационални, така и ирационални числа и затова

долната сума $U(Z)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \inf _{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x)$

е винаги 0 (понеже инфимумът е винаги 0), а

горната сума $O(Z)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \sup _{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x)$

е винаги равна на дължината на интеграла, в който се интегрира (понеже супремумът е винаги равен на 1 и просто се събират дължините на отделните подинтервали).

За да съществува риманов интеграл, трябва двете стойности да са равни, т.е.:

${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx=\inf _{Z}O(Z)=\sup _{Z}U(Z)={\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx$

Понеже долната и горната сума трябва да клонят към една и съща стойност, D(x) не е интегруема по Риман в нито един интервал.

Лебегов интеграл

Тъй като функцията на Дирихле е проста функция, т.е. приема само краен брой различни стойности, които освен това са неотрицателни, Лебеговият интеграл може да се пресметне по следния начин за произволен интеграл I:

$\int _{I}D(x)\,d\lambda (x)=0\cdot \lambda (I\cap \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )+1\cdot \lambda (I\cap \mathbb {Q} )$,

където $\lambda (x)$ обозначава лебеговата мярка.

При която и да е стойност на $\lambda (I\cap \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )$ умножението с 0 дава винаги резултат 0. Това следва от аксиома от теорията на мярката, дори когато другият множител е безкраен. Освен това $\lambda (I\cap \mathbb {Q} )$ е винаги 0, тъй като множеството $\mathbb {Q}$ на рационалните числа е изброимо.

Така че за всеки интервал I е изпълнено:

$\int _{I}D(x)\,d\lambda (x)=0$