Функция на Хевисайд

Праговата функция на Хевисайд

Функцията на Хевисайд (единичната прагова функция, функция на единичния скок) е функция, равна на нула за отрицателни стойности на аргумента и единица — за положителни. В нулата тази функция е неопределена, обаче обикновено я доопределят с някое число, така че областта на определението на функцията да съдържа в себе си всички точки от числовата ос. Най-често стойността на функцията в нулата не е важна, затова се използват различни определения на функцията на Хевисайд, удобни по едни или други съображения, например

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

Друго разпространено определение:

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x \geqslant 0 \end{cases}$

Функцията на Хевисайд се използва широко в математическия апарат на теорията на управлението и теорията на сигналите за представяне на сигнали, преминаващи в определен момент от времето от едно състояние в друго. В математическата статистика тази функция се прилага, например, за запис на емпиричната функция на разпределението. Наречена е в чест на Оливър Хевисайд.

Функцията на Хевисайд представлява интегрираната функция за делта-функцията на Дирак, $H' = \delta$, която може да се запише и като:

$H(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!\delta(t)\,dt$

Дискретна форма

Дискретната функция на Хевисайд може да се дефинира като функция от целочисления аргумент $n$:

$H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0; \\ 1, & n \geqslant 0, \end{cases}$

където $n$ е цяло число.

Дискретният единичен импулс представлява първата производна на дискретната функция на Хевисайд:

$\delta[n] = H[n] - H[n-1].$

Аналитични форми

За по-удобно използване на функцията на Хевисайд може да се апроксимира с помощта на непрекъсната функция:

$H(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,\mathrm{th}\,kx = \frac{1}{1+e^{-2kx}},$

където на по-голямо $k$ съответства по-стръмен наклон на функцията в точката $x=0$. Ако приемем, че $H(0)=1/2$, Уравнението може да бъде написано в гранична форма:

Запис

Често се използва и е полезна интегралната форма на запис на единичната функция:

$H(x)=- \lim_{ \varepsilon \to 0^+}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-\infty}^\infty\limits\!\frac{1}{\tau+i\varepsilon}e^{-ix\tau}\,d\tau$

H(0)

Стойността на функцията в нулата често се задава като $H(0) = 0$, $H(0)=1/2$ или $H(0)=1$. $H(0)=1/2$ е най-употребяваният вариант, тъй като по съображения за симетрия в точката на прекъсване от първи род е удобно да доопределим функцията със средно аритметично, съответстващо на еднострани граници, а освен това в този случай функцията на Хевисайд е свързана с функция на знака:

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

$H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn x \right )$

Стойността в нулата може да се запише явно чрез функцията:

$H_n(x) = \begin{cases} 0, & x < 0; \\ n, & x = 0; \\ 1, & x > 0. \end{cases}$

$H(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\,\mathrm{th}\, kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+e^{-2kx}}.$

Съществуват няколко други апроксимации чрез непрекъснати функции:

$H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\,\mathrm{arctg}\, kx \right) \$

$H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,\mathrm{erf}\, kx \right).$

Преобразуване на Фурие

Производната на функцията на Хевисайд е равна на делта-функцията (т. е. функцията на Хевисайд е интегрирана делта-функция):

$H(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}\! \delta(t)\,dt$.

Следователно, като приложим преобразуването на Фурие към интегрираната делта-функция $~H(t)$, получаваме изображението ѝ от вида:

$\frac{1}{2 \pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega),$

т.е.:

$H(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\! \left(\frac{1}{2 \pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega)\right) e^{i\omega t}\, d\omega$

(вторият член съответства на нулева честота в разлагането и описва постоянното преместване на функцията на Хевисайд нагоре; без него би се получила нечетна функция).