Хармоничен осцилатор

Най-общо казано осцилаторът е един вид генератор на трептения от определен вид, които се използват за синтез на звук - примерно при адитивния синтез се сумират множество синусоидални трептения, за да се получи крайния звук, а при субтрактивния (най-евтин и най-често използван при аналоговите синтове), осцилаторите генерират примерно правоъгълен, триъгълен или трионообразен сигнал (защото са богати на хармоници), които после се пускат през филтри, които изрязват част от хармониците и така се оформя специфичен тембър. Друго за осцилаторите - има и така наречените low frequency oscilators (LFO), които генерират честоти под 10 Hz и са нечуваеми за човешкото ухо - те служат за контролиране на параметрите на звука, получен примерно при субтрактивния синтез - може да контролират амплитудата на сигнала по синусоидален закон, при който да се получи тремоло ефект или честотата, при което ще се получи вибрато или пък честотата на срез на филтрите, при което се получава така наречения "sweep" ефект. Хармоничен осцилатор в класическата механика се нарича всяка система, която при отместване от нейното равновесно положение изпитва сила, възвръщаша я към равновесното положение.

Дефиниция

Всяко движение, което се повтаря през равни интервали от време се нарича периодично. Такова движение се описва чрез функциите синус и косинус. В математиката тези функции се наричат "хармонични" - затова и движението на такива тела се нарича хармонично.

Когато едно тяло променя позицията си - напред, назад по един и същ път -такова движение се нарича вибрация или осцилация.

Нашият свят е пълен с примери на хармонично движение: - трептенията на струните на музикалните инструменти, движението на махалото, движението на въздушните молекули при преминаване на звукова вълна. Периодично движения се създават от сили, преместващи телата напред - назад. Тъй като при този процес винаги има някакво съприкосновение с други частици или триене - вследствие на това се отдава енергия - затова повечето от хармоничните движения са затихващи.

Ако вкарваме допълнителна енергия чрез външна сила - можем да компенсираме загубата на енергия от триенето и да постигнем незатихващо периодично движение.

Математическо описание на движението

тяло закачено за пружина

махало

въртящо се махало

звукова вълна

морска вълна

предаване на хармонично движение по въже

Уравнение за затихващо трептене

Разглеждаме тяло с маса m окачено на пружина с еластичност к. Тялото се намира в среда със съпротивление пропорционално на скоростта на движение с коефициент b. Движението се извършва само по координатната ос Х.

Формула за пружината:

$\mathbf{ Fe= -k.x, Fe}$ еластична сила на отблъскване на пружината

Формула за съпротивлението на средата:

$Fc= - b.{dx \over dt}, Fc$ - сила на съпротивление на средата

Закон на Нютон:

$F = m.a = m. {d^2x \over dt^2}$, където

$F$ - сила, приложена върху тяло с маса м и ускорение а.

Уравнението за движението на тяло, окаченото на пружина е:

$\mathbf{F = Fe + Fc}$

$m. {d^2x \over dt^2} = -k.x - b.{dx \over dt}$

$m. {d^2x \over dt^2}+ b.{dx \over dt}+ k.x =0$

Това е диференциално уравнение от втори ред, описващо движението на хармоничен затихващ осцилатор. Разделяме на m:

${d^2x \over dt^2}+ {b \over m}.{dx \over dt}+ {k \over m}.x =0$

За да го решим преобразуваме: ${d^2x \over dt^2}+ {b \over m}.{dx \over dt}= - {k \over m}.x$

Ползваме помощна функция: $e^{{b \over m}.t}$