Хаусдорфово пространство

Хаусдорфовото пространство, или T₂-пространство, или отделимо пространство, е топологично пространство, в което всеки две различни точки могат да се отделят една от друга посредством непресичащи се околности. Голяма част от пространствата изучавани в математиката (и най-вече в топологията) са хаусдорфови.

Формално определение

Множество от елементи (точки) $X\,$, снабдено с топологична структура — на всеки елемент $x \in X$ се съпоставя система $\mathfrak{U}_x$ от подмножества (околности на $x\,$) $U\,$, удоволетворяващи аксиомите на Хаусдорф за топологично пространство:

• $x \in U\,$ за всяка околност $U \in \mathfrak{U}_x$
• $U \in \mathfrak{U}_x$ и $U \subseteq V \Rightarrow V \in \mathfrak{U}_x$
• $U_1, U_2 \in \mathfrak{U}_x \Rightarrow U_1 \cap U_2 \in \mathfrak{U}_x$
• $\forall U \in \mathfrak{U}_x,\, \exists V \in \mathfrak{U}_x : U \in \mathfrak{U}_y, \forall y \in V$

Ако допълнително е удоволетворена и аксиомата на Хаусдорф за отделимост

• $\forall x,y\,(x \neq y) \in X,\, \exists U \in \mathfrak{U}_x, V \in \mathfrak{U}_y : U \cap V = \varnothing$,

то пространството $X\,$ е хаусдорфово пространство, наречено на немския математик Феликс Хаусдорф.