Хаусдорфово пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Хаусдорфовото пространство, или T2-пространство, или отделимо пространство, е топологично пространство, в което всеки две различни точки могат да се отделят една от друга посредством непресичащи се околности. Голяма част от пространствата изучавани в математиката (и най-вече в топологията) са хаусдорфови.

Формално определение[редактиране | edit source]

Множество от елементи (точки) X\,, снабдено с топологична структура — на всеки елемент  x \in X се съпоставя система \mathfrak{U}_x от подмножества (околности на x\,) U\,, удоволетворяващи аксиомите на Хаусдорф за топологично пространство:

  • x \in U\, за всяка околност U \in \mathfrak{U}_x
  • U \in \mathfrak{U}_x и U \subseteq V \Rightarrow V \in \mathfrak{U}_x
  • U_1, U_2 \in \mathfrak{U}_x \Rightarrow U_1 \cap U_2 \in \mathfrak{U}_x
  • \forall U \in \mathfrak{U}_x,\, \exists V \in \mathfrak{U}_x : U \in \mathfrak{U}_y, \forall y \in V

Ако допълнително е удоволетворена и аксиомата на Хаусдорф за отделимост

  • \forall x,y\,(x \neq y) \in X,\, \exists U \in \mathfrak{U}_x, V \in \mathfrak{U}_y : U \cap V = \varnothing,

то пространството X\, е хаусдорфово пространство, наречено на немския математик Феликс Хаусдорф.