Хипотеза на Риман

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Riemann zeta function absolute value.png

Хипотезата на Риман е известна нерешена задача от алгебричната теория на числата, свързана със свойствата на Римановата ζ-функция и разпределението на простите числа. Хипотезата гласи:

„Реалната част на всяка кратна нула на Римановата дзета-функция е равна на ½“.

Хилберт включва задачата за доказването на Римановата хипотеза в своето изложение за предизвикателствата пред математиката през ХХ век, в което той включва 23 нерешени задачи.

Римановата хипотеза и разпределението на простите числа[редактиране | edit source]

Трудно е да се види важността на Римановата хипотеза в нейната класическа формулировка. През 1901 Хелге фон Коф доказва еквивалетността на Римановата хипотеза и хипотезата, че за всяко ε>0 е вярно твърдението:

\left|\pi(x) - \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln(t)}\right| = O(x^{1/2+\varepsilon}),

където функцията π(x) дава броя прости числа, по-малки от x, ln(x) е натуралният логаритъм, а O е функция, която „расте като” x^{1/2+\varepsilon}. Лоуел Шьонфелд намира трета еквивалентна формулировка на хипотезата:

\left|\pi(x) - \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln(t)}\right| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln(x), \qquad \forall x \ge 2657.

Простите нули на ζ-функцията могат да бъдат разглеждани образи на простите числа в пространството на Фурие, т. е. кратните нули на ζ-функцията могат да бъдат разглеждани като хармонични честоти на функцията, даваща разпределението на простите числа.