Холоморфна функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Холоморфните функции са основният обект изучаван от комплексния анализ. Това са функции дефинирани върху отворено подмножество на комплексната равнина C със стойности в C които са комплексно-диференцируеми във всяка точка. Това условие е много по-силно от условието за реална диференцируемост и от него следва, че функцията е гладка (тоест има производни от произволен ред) и е напълно определена от нейния ред на Тейлър. В този контекст терминът аналитична функция често се използва като синоним, въпреки че понятието "холоморфна функция" има и други значения. Функция, холоморфна в цялата равнина се нарича цяла функция.

Дефиниция[редактиране | edit source]

Нека U бъде отворено подмножество на C и f : UC бъде комплекснозначна функция дефинирана върху U. Казваме, че f е комплексно-диференцируема в точка z0 от U ако границата

f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }

съществува.

Границата тук се взима по всички редици от комплексни числа клонящи към z0, и за всички тях горният израз трябва да клони към едно и също число, което се означава с f '(z0). Ако f е комплексно-диференцируема във всяка точка z0 от U, казваме, че f е холоморфна в U. Казваме, че f е холоморфна в точката z0 ако е холоморфна в някаква околност на z0. Функцията f е холоморфна в някакво неотворено множество A, ако е холоморфна в отворено множество съдържащо A.

Литература[редактиране | edit source]

  • Теория на аналитичните функции, Татяна Аргирова, Университетско изд. "Св. Климент Охридски", 1992