Шум на Джонсън–Найкуист

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Шумът на Джонсън–Найкуист (термичен шум, Шум на Джонсън (John B. Johnson) или Шум на Найкуист (Harry Nyquist)) е електронен шум образуван от термичното възбуждане на зарядните носители (обикновено електрони) в вътрешността на електрически проводник в равновесие, което се случва независимо от това дали е приложено напрежение. Термичния шум е приблизително бял шум, което означава че спектралната плътност на мощността е почти еднаква в целия честотен спектър (но, виж по-долу раздела за екстремално високите честоти). Допълнително, амплитудата на сигнала има функция с почти Гаусова плътността на вероятността.[1]

История[редактиране | edit source]

Този тип шум е бил измерен първо от Джон Б. Джонсън в Bell Labs през 1928.[2] Той описал своите открития на Хари Найкуист, също от Bell Labs, които могъл да обясни резултатите.[3]

Напрежение и мощност на шума[редактиране | edit source]

Термичния шум е различен от статичния шум, които се състои от допълнителни флуктуации на тока които съществуват когато е приложено напрежение и започва да протича макроскопичен ток. В общия случай, горното дефиниция засяга носители на заряд в проводяща среда от произволен тип (например йони в електролит), не само резистори. Той може да бъде представен като източник на напрежение представляващ шума на неидеален резистор свързан успоредно с идеален безшумен резистор. Мощността на спектралната плътност, или дисперсията на напрежението на херц от честотния диапазон, е даден чрез


\bar {v_{n}^2} = 4 k_B T R

където kB е константа на Болцман в джаула на келвин, T е абсолютната температура на резистора в келвини, а R е стойността на резистора в омове (Ω). Използвай това уравнение за бързи изчисления:


\sqrt{\bar {v_{n}^2}} = 0.13 \sqrt{R} ~\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}.

На пример, резистор 1 kΩ в стайна температура 300 K има


\sqrt{\bar {v_{n}^2}} = \sqrt{4 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23}~\mathrm{J}/\mathrm{K} \cdot 300~\mathrm{K} \cdot 1~\mathrm{k}\Omega} = 4.07  ~\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}.

За даден честотен диапазон, Ефективната (средноквадратната) стойност на напрежението, v_{n}, е дадено чрез


v_{n}  = \sqrt{\bar {v_{n}^2}}\sqrt{\Delta f } = \sqrt{ 4 k_B T R \Delta f }

където Δf е честотния диапазон (в херца) в който е измерван шумът. За резистор 1 kΩ в стайна температура и честотен диапазон от 10 kHz, ефективното напрежение на шума е 400 nV.[4] Практично правило за запаметяване е че 50 Ω в 1 Hz честотна лента отговарят на 1 nV шум при стайна температура. Резистор свързан на късо във верига отделя шум с мощност:


P = \bar{v_{n}^2}/R = 4 k_B \,T \Delta f.

Шумът генериран на резистора може да премине в останалата част на веригата; Максимален трансфер на шума става при допасване на импеданса когато еквивалентното съпротивление на Тевенин[5] за останалата част от веригата е равно на съпротивлението генериращо шум. В този случай всяко едно от двете участващи съпротивления разсейва шум в себе си и в другото съпротивление. Тъй кат само половината от напрежението на източника пада върху всяко от тези съпротивления, получената мощност на шума е дадена чрез


P = k_B \,T \Delta f

където P е мощността на термичния шум във ватове. Забележете че това е независимо от съпротивлението генериращо шум.

Шум в децибели[редактиране | edit source]

Мощността на сигнала е често измервана в dBm (децибел в отношение към 1 миливат, приемайки товар от 50 ома). За горното уравнение, мощността на шума в съпротивлението в стайна температура, в dBm, е тогава:


P_\mathrm{dBm} = 10\ \log_{10}(k_B T \Delta f \times 1000)

Където фактор от 1000 присъства защото мощността е дадена в миливатове, вместо във ватове. Това уравнение може да бъде опростено чрез разделянето на константните части от честотната лента:


P_\mathrm{dBm} = 10\ \log_{10}(k_B T \times 1000) + 10\ \log(\Delta f)

Което обикновено се среща опростено така:


P_\mathrm{dBm} = -174 + 10\ \log_{10}(\Delta f)

Мощността на шума в различните честотни ленти така е лесно да бъде сметната:

Честотна лента Мощност Забележки
1 Hz −174 dBm
10 Hz −164 dBm
1000 Hz −144 dBm
10 kHz −134 dBm FM канал на приемо-предавател
1 MHz −114 dBm
2 MHz −111 dBm Канал на комерсиалния GPS
6 MHz −106 dBm Канал на аналоговата телевизия
20 MHz −101 dBm Канал на WLAN 802.11

Действителното количество термичен шум прието от радиоприемник имащ входен импеданс 50 Ω, свързан към антена със излъчвателно съпротивление 50 Ω ще бъде определено от разчета на шума (NF - на английски: noise figure), както следва:

P_\mathrm{SP} (dB) = P_\mathrm{SR} (dB) + 10\ \log_{10}(10^{NF/10}-1)

или

P_\mathrm{SP} = P_\mathrm{SR} (10^{NF/10}-1).\,

Тук PSP - ШУМ НА ПРИЕМНИКА е шумът генериран в самия приемник. PSR - ШУМ НА РЕЗИСТОРА е стойност от таблицата по-горе за термичен шум на резистор. NF е в dB. Десет повдигнато на степен NF/10 е наречено фактор на шума и е просто линейна версия на разчета на шума. Изваждаме единица от фактора на шум понеже фактор на шума 1 е идеален приемник (който не вкарва шум в сигнала). Факторът на шум е дефиниран по този начин понеже в лабораторията е измерван чрез свързване на резистор към входа на приемника и сравнение на изходния шум с това което някой би очаквал ако просто шума на резистора е усилен със степента на усилване на приемника. Отношение равно на 1 между измерения изходен шум в числителя и степента на усилване умножена по термичния шум на резистора в знаменателя означава че приемника не е добавил собствен шум към входния сигнал.

Забележете че излъчвателното съпротивление на антената не превръща мощността в топлина, така че не е източник на термичен шум. То разсейва мощност във вид на електромагнитно излъчване. Така че ако входящото излъчване към антената е излъчване на черно тяло при температура еднаква с тази на антената тогава то ще внесе шум по същия начин по който би внесло излъчвателното съпротивление, което е съгласно с нулевия закон на термодинамиката приложен спрямо обкръжаващата среда, антената и електромагнитното излъчване. В подземна пещера или мина антената би била обкръжена от земя която е непропусклива за излъчването, и така излъчвателното съпротивление би водило до термичен шум.

По същия начин товарния импеданс на входа на приемника не е директно отговорен за приет шум. В такъв случай е наистина възможно и дори е обичайно за един приемник да има фактор на шума по малък от 2 (или разчета на шум по малък от 3 dB, което е равнозначно).

На пример при канал с широчина 6 MHz какъвто е телевизионният канал, приетия сигнал ще конкурира с малкото количество енергия генерирано от стайната температура във входния блок на приемника, който за телевизионен приемник с разчет на шум 3 dB ще е −106 dBm, или една четиридесета от пиковат. За телевизор с разчет на шум 1 dB, мощността на шума ще бъде −112 dBm. Действителния източник на този шум е комбинация от термичен шум във съществуващите съпротивления на кабелите и полупроводниците, термичен шум в други внасящи загуби устройства такива като трансформаторите, както и статичен шум.

Честотна лента 6 MHz може да е 6 MHz между 54 и 60 MHz (отговаряща на телевизионен канал 2) или 6 MHz между 470 MHz и 476 MHz (отговаряща на телевизионен канал СВЧ 14) или всеки други 6 MHz в спектъра по същия начин. Честотната лента на който и да е канал не трябва да е обърквана с честотата на излъчване на канала. На пример, честотата на излъчване на канала може да бъде висока като 2450 MHz за сигнала WIFI, но истинската широчина на канала може да е само 20 MHz, и тези 20 MHz ще бъдат правилната стойност за употреба при пресмятането на шума на шумът на Джонсън–Найкуист.

Забележете че е твърде възможно да се детектира сигнал чиято амплитуда е по-малка от шума съдържащ се в неговата честотна лента. Глобалната система за позициониране (GPS) и системата ГЛОНАСС и двете имат амплитуда на сигнала които е по малък от приетия шум в типичен приемник на ниво на земята. В случаят на GPS, приетия сигнал има мощност −133 dBm. Най-новата серия спътници имат по-мощен излъчвател. За постигането на това постижение, GPS използва техниките на широколентовия спектър, докато някой други комуникационни системи използват кодиране с контрол на грешките. Все пак съществува фундаментална граница за възможността за разпознаване на значението на сигнала сред шума, дадена чрез теоремата на Шанон-Хартлей.

Шум на тока[редактиране | edit source]

Източника на шум може да бъде моделиран и чрез източник на ток свързан успоредно с резистор използвайки еквивалентна схема на Нортън при което е необходимо само да разделим на R. Това дава средноквадратната (ефективна) стойност на токовия източник като:


i_n = \sqrt {{ 4 k_B T \Delta f } \over R}.

Термичния шум е присъщ на всички резистори и не е признак на лошо проектиране или производство, въпреки че резисторите могат също да имат и над нормален шум.

Термичен шум на кондензатори[редактиране | edit source]

Термичния шум на кондензаторите е наричан още kTC шум. Термичния шум в RC верига има обикновено опростено изразяване, тъй като стойността на съпротивлението (R) отпада от уравнението. Това е така понеже голям R води до повече филтриране но и до повече шум. Честотната лента на RC верига е 1/(4RC),[6] което може да се постави в горната формула за премахването на R. Квадрата на средноквадратното, и средноквадратното напрежение на шума генерирани в такъв филтър са:[7]


\bar {v_{n}^2} = k_B T / C

v_{n} = \sqrt{ k_B T / C }.

Термичния шум се смята за 100% kTC шум, все едно дали е обясняван чрез съпротивлението или чрез капацитета.

В изключителни случай на шум при изключване оставаш на кондензатора при идеалното прекъсване на веригата, съпротивлението е безкрайно, но формулата все още действа; в този случай средноквадратната стойност трябва да се интерпретира не като средна стойност във времето, а като средна стойност на много такива прекъсвания на веригата, тъй като напрежението е постоянно при нулева честотна лента. В този смисъл шумът на Джонсън на RC верига може да бъде разглеждан като присъщ, ефект на термодинамичното разпределение на броя електрони в кондензатора, дори без участието на резистор. Шумът не произлиза от самия кондензатор, а от термодинамичното равновесие на количеството заряд в кондензатора. След като кондензатора е изключен от токовата веригата, термодинамичната флуктуация бива замразена в произволна стойност със стандартно отклонение както по-горе. Шумът при изключване на кондензаторните сензори често бива ограничителен източник на шум, например при сензорите за образ. Бивайки разновидност на шум от напрежението, шумът на изключване на кондензатора също може да бъде измерван тъй като стандартното отклонение на електрическия заряд е:


Q_{n} = \sqrt{ k_B T C }.

Понеже дисперсията на заряда е k_B T C, този шум често е наричан kTC шум.

Всяка система в термично равновесие притежава величини на състоянието със средна енергия kT/2 на степен на свобода. Използвайки формулата за енергия на кондензатор (E = ½CV2), средната енергия на шума на кондензатора може да бъде разглеждана като ½C(kT/C), или като kT/2. Термичния шум на кондензатор може да бъде изведен от тази зависимост, без участието на съпротивление.

Шумът kTC е доминиращ източник на шум при малките кондензатори.

Шум на кондензатори в 300 K
Капацитет  \sqrt{ k_B T / C } Електрона
1 fF 2 mV 12.5 e
10 fF 640 µV 40 e
100 fF 200 µV 125 e
1 pF 64 µV 400 e
10 pF 20 µV 1250 e
100 pF 6.4 µV 4000 e
1 nF 2 µV 12500 e

Шум при много високи честоти[редактиране | edit source]

Горните уравнения са добри приближения за всяка радиочестота която използваме (например честоти под 80 гигахерца). В по-общия случай, който включва и оптичните честоти, мощността на спектралната плътност на напрежението върху резистора R, в V2/Hz е дадено чрез:


\Phi (f) = \frac{2 R h f}{e^{\frac{h f}{k_B T}} - 1}

където f е честотата, h константа на Планк, kB константа на Болцман и T температурата в келвини. Ако честотата е достатъчно ниска, тоест:


f \ll \frac{k_B T}{h}

(това условие е валидно до няколко терахерца в стайна температура) тогава експонента може да се изрази чрез сериите на Тейлър. Тогава тази зависимост става:


\Phi (f) \approx 2 R k_B T.

Обикновено двете R и T зависят от честотата. За да изчислим целият шум е достатъчно да интегрираме по цялата честотна лента. Тъй като сигнала е реален, можем да интегрираме само по положителните честоти, след което да умножим по 2. Приемайки че R и T са постоянни в целия честотен диапазон \Delta f, тогава средно квадратната (ефективната) стойността на напрежението върху резистора поради термичния шум е дадено чрез


v_n = \sqrt { 4 k_B T R \Delta f },

тоест същата формула както по-горе.

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Johnson–Nyquist noise“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.  

Препратки[редактиране | edit source]

  1. Mancini, Ron; others (August 2002). "Op Amps For Everyone" (PDF). Application Notes. Texas Instruments. pp. p. 148. http://focus.ti.com/lit/an/slod006b/slod006b.pdf. Retrieved 2006-12-06. "Thermal noise and shot noise (see below) have Gaussian probability density functions. The other forms of noise do not."
  2. J. Johnson, "Thermal Agitation of Electricity in Conductors", Phys. Rev. 32, 97 (1928) – експеримента
  3. H. Nyquist, "Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors", Phys. Rev. 32, 110 (1928) – теорията
  4. Резултат на Гугъл калкулатор за 1 kΩ, стайна температура и 10 kHz честотен диапазон
  5. Léon Charles Thévenin - френски телеграфен инженер 30 Март 1857 - 21 Септември 1926
  6. Kent H. Lundberg, See pdf, page 10: http://web.mit.edu/klund/www/papers/UNP_noise.pdf
  7. R. Sarpeshkar, T. Delbruck, and C. A. Mead, "White noise in MOS transistors and resistors", IEEE Circuits Devices Mag., pp. 23–29, Nov. 1993.