Ядро на Поасон

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Ядрото на Поасон е сумиращо ядро, което се използва в хармоничния анализ. Задава се с формулата

P_r(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty r^{|j|}e^{ijt},

където 0 < r < 1. Може да се представи и в следния вид

P_r(t)=1+2\sum_{j=1}^\infty r^j \cos(jt)

или

P_r(t)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos t +r^2}=Re\left(\frac{1+re^{it}}{1-re^{it}}\right).

Ядрото на Поасон не е редица от тригонометрични полиноми, но в замяна на това пък P(r,t) е намаляваща функция на t за 0 < t <\pi.

Поради равномерната сходимост на реда, с който се задава P(r,t), имаме следното равенство

(P_r\ast f)(t)=\sum_n \hat f(n)r^{|n|}e^{int}

ядрото на Поасон се използва като връзка между теорията на тригонометричните редове и теорията на аналитичните функции.

Приложение в комплексния анализ[редактиране | edit source]

Много важно свойство на ядрото на Поасон, което се използва в комплексния анализ е, че интегралът на Поасон на P_r дава решение на задачата на Дирихле за единичния кръг. Задачата на Дирихле търси решения на уравнението на Лаплас в единичния кръг с гранично условие на Дирихле.

Нека D = \{z:|z|<1\} е единичния кръг в C. Ако f е непрекъсната функция \partial D\mapsto\mathbb{R}, то функцията u зададена с

u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi P_r(\theta-t)f(e^{it})dt

е хармонична в D и е равна на f по единичната окръжност.