Ядро на Поасон

Ядрото на Поасон е сумиращо ядро, което се използва в хармоничния анализ. Задава се с формулата

$P_r(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty r^{|j|}e^{ijt}$,

където 0 < r < 1. Може да се представи и в следния вид

$P_r(t)=1+2\sum_{j=1}^\infty r^j \cos(jt)$

или

$P_r(t)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos t +r^2}=Re\left(\frac{1+re^{it}}{1-re^{it}}\right).$

Ядрото на Поасон не е редица от тригонометрични полиноми, но в замяна на това пък P(r,t) е намаляваща функция на t за $0 < t <\pi$.

Поради равномерната сходимост на реда, с който се задава P(r,t), имаме следното равенство

$(P_r\ast f)(t)=\sum_n \hat f(n)r^{|n|}e^{int}$

ядрото на Поасон се използва като връзка между теорията на тригонометричните редове и теорията на аналитичните функции.

Приложение в комплексния анализ

Много важно свойство на ядрото на Поасон, което се използва в комплексния анализ е, че интегралът на Поасон на $P_r$ дава решение на задачата на Дирихле за единичния кръг. Задачата на Дирихле търси решения на уравнението на Лаплас в единичния кръг с гранично условие на Дирихле.

Нека $D = \{z:|z|<1\}$ е единичния кръг в C. Ако f е непрекъсната функция $\partial D\mapsto\mathbb{R}$, то функцията u зададена с

$u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi P_r(\theta-t)f(e^{it})dt$

е хармонична в D и е равна на f по единичната окръжност.