Ядро на Фейер

В хармоничния анализ ядрото на Фейер се използва за изразяването на редове на Фурие като суми на Чезаро. То е положително сумиращо ядро, което се задава с формулата

$\mathcal{K}_N(t) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}D_n(t),$

където $D_n(t)$ е n-тото ядро на Дирихле. Може да се запише и във вида

$\mathcal{K}_N(t) = \frac{1}{N} \left(\frac{\sin \frac{N t}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\right)^2$.

или

$\mathcal{K}_N(t) = \sum_{j=-N}^N (1-\frac{|j|}{N+1})e^{ijt}$

Наречено е на унгарския математик Липот Фейер (1880–1959).

Приложение

Нека да означим

$\sigma_n(f,t)=\mathcal{K}_n\ast f$.

С помощта на ядрото на Фейер се доказват следните твърдения за сходимостта на $\sigma_n(f,t)$.

• Ако f е непрекъсната в затворения интервал I, то $\sigma_n(f,t)$ клони равномерно към f в I.

• Ако f е непрекъсната в x и редът на Фурие S(f) е сходящ в x, то сумата му е f(x).