Дванадесетоъгълник

Правилен дванадесетоъгълник

Дванадесетоъгълникът (също и додекагон, от старогръцки: δώδεκα + γωνία – „дванадесет“ + „ъгъл“) е многоъгълник с дванадесет страни и ъгли. Сборът на всички вътрешни ъгли е 1800° (10π). Има 54 диагонала.

Правилен дванадесетоъгълник

При правилния дванадесетоъгълник всички страни и ъгли са равни. Вътрешният ъгъл е 150°, а външният и централният – 30°.

Лице

Лицето S на правилен дванадесетоъгълник може да бъде намерено по три начина:

• По страната a:

$S=3a^{2}\left(2+{\sqrt {3}}\right)=3a^{2}\cdot \cot(15^{\circ })\approx 11,1961524\,a^{2}$

• По радиуса R на описаната окръжност:

$S=6R^{2}\cdot \sin(30^{\circ })=3R^{2}$

• По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):

$S=12r^{2}\left(2-{\sqrt {3}}\right)=12r^{2}\cdot \tan(15^{\circ })\approx 3,2153903\,r^{2}$

Построение

Тъй като 12 е произведение на 2² и 3, което е просто число на Ферма, правилен дванадесетоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:

Използване

• 
• 
• 
• 

Пана

• 
  Пресечено шестоъгълно пано
• 
  Пресечено тришестоъгълно пано
• 
  Шестоделно пресечено тришестоъгълно пано
• 
  Додекагонирано квадратно пано