Банахово пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Банаховите пространства, носещи името на Стефан Банах, са основния предмет на изучаване във функционалния анализ. Много безкрайномерни функционни пространства са всъщност банахови пространства.

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Банахово пространство е пълно нормирано линейно пространство. Това означава с други думи, че банахово пространство е линейно пространство V над реалните или комплексните числа с норма ||·||, такава че всяка редица на Коши (спрямо метриката d(x, y) = ||xy||) във V има граница във V. Понеже нормата определя топология в линейното пространство, всяко банахово пространство е пример за топологично линейно пространство.

Примери[редактиране | редактиране на кода]

Нека K означава едно от полетата R или C.

Добре познатото евклидово пространство Kn с евклидова норма на x = (x1, ..., xn), зададена с ||x|| = (∑ |xi|2)1/2, е банахово.

Пространството на всички непрекъснати функции f : [a, b] → K, дефинирани в затворения интервал [a, b] става банахово, ако се зададе норма на функцията с ||f|| = sup { |f(x)| : x in [a, b] }, позната и като супремум-норма. Тя е норма, понеже непрекъснатите функции в затворен интервал са ограничени. Пространството е пълно спрямо тази норма и се означава с C[a, b]. Този пример може да се обобщи за пространството C(X) от всички непрекъснати функции XK, където X е компактно пространство, или за пространството на всички ограничени непрекъснати функции XK, където X е топологично пространство или за множеството B(X) от всички ограничени функции XK, където X е произволно множество. В гореизброените примери функциите могат да се умножават и резултатът е фунцкия от същия вид: т.е. тези пространства са и банахови алгебри.

За всяко отворено множество Ω ⊆ C, множеството A(Ω) от ограничените аналитични функции u : Ω → C e комплексно банахово пространство спрямо супремум-нормата. Фактът, че равномерната граница на аналитични функции е отново аналитична е лесно следствие от теоремата на Морера.

Ако p ≥ 1 е реално число, може да се разглежда пространството от безкрайни редици (x1, x2, x3, ...) от елементи на K, такива че безкрайният редi |xi|p е сходящ. p-ят корен от стойността на сумата се нарича p-норма на редицата. Пространството, оборудвано с тази норма, е банахово и се означава с l p.

Банаховото пространство съдържа всички ограничени редици от елементи на K; нормата на такава редица се полага като супремума на абсолютните стойности на членовете на редицата.

Ако p ≥ 1 е реално число, могат да се разглеждат функциите f : [a, b] → K такива че |f|p е интегруема по Лебег. p-ят корен на интеграла се полага за норма на f. От само себе си това пространство не е банахово, понеже има ненулеви функции с норма 0. Затова се полага релация на еквивалентност по следния начин: f and g са еквивалентни тогава и само тогава, когато нормата на f - g е нула. Пространството от съседни класове на тази релация е банахово и се означава с L p[a, b]. От особена важност е да се използва лебеговия интеграл, а не римановия, понеже интегралът на Риман няма да доведе до пълно пространство. За още примери виж L p.

Ако M е затворено линейно подмножество на банаховото пространство X, тогава пространството X/M от съседни класове е също банахово.

Всяко скаларно произведение дефинира норма. Ако пространството е пълно спрямо тази норма, то се нарича хилбертово пространство. Всяко хилбертово пространство е банахово по определение. Обратното твърдение не винаги е вярно.

Дуално пространство[редактиране | редактиране на кода]

Ако V е банахово и K е съответното поле (т.е. реалните или комплексните числа), то K е само по себе си банахово (използвайки абсолютната стойност за норма). Можем да дефинираме дуалното пространство V′ като V′ = L(V, K), пространството от непрекъснатите линейни изображения в K. То е също банахово пространство (с операторна норма). Чрез него се дефинира нова топология във V: слаба топология.

Трябва да се отбележи, че условието за непрекъснатост е необходимо; ако V е безкрайно-мерно, съществуват линейни изображения, които са прекъснати и следователно не са ограничени, т.е. пространството V* от линейни изображения в K не би било банахово. Пространството V* (наричано и алгебрично-дуално, за да се различава от V') също поражда слаба топология, която е по-фина от топологията, породена от дуалното пространство V′⊆V*.

Съществува естествено изображение F от V във V′′ (дуалното на дуалното пространство), зададено с

'

за всяко и . Понеже е функция от V′ в K, тя е елемент от V′′. Изображението е следователно функция VV′′. Следствие от теоремата на Хан-Банах е, че това изображение е инективно; ако е и сюрективно, банаховото пространство V се нарича рефлексивно. Рефлексивните пространства притежават важни геометрични свойства. Едно пространство е рефлексивно тогава и само тогава, когато дуалното му пространство е рефлексивно, което е изпълнено тогава и само тогава, когато единичното кълбо е компактно в слабата топология.

Например lp е рефлексивно за 1<p<∞ но l1 и l не са рефлексивни. Дуалното пространство на lp е lq, където p и q са свързани чрез зависимостта . Виж L p.

Връзка с хилбертови пространства[редактиране | редактиране на кода]

Както вече се спомена, всяко хилбертово пространство е банахово, понеже по определение хилбертовото пространство е пълно спрямо нормата, зададена чрез скаларното произведение по формулата за всяко v.

Обратното твърдение не е винаги вярно, не всяко банахово пространство е хилбертово. Необходимо и достатъчно условие да се дефинира скаларно произведение в банахово пространство V е тъждеството на успоредника:

за всички u и v във V, където с ||*|| се означава нормата във V. Така например докато е банахово спрямо всяка добре-дефинирана в него норма, то е хилбертово само спрямо евклидовата норма. По същия начин като безкрайно-мерен пример може да се посочи лебеговото пространство Lp, което е винаги банахово, но е хилбертово, само когато p = 2.

Ако нормата на едно банахово пространство изпълнява горното тъждество, съответното скаларно произведение в хилбертовото пространство се задава с тъждеството на поляризацията. Ако V е реално банахово пространство, това тъждество има вида

докато ако V е комплексно банахово пространство, то тъждеството има вида

Необходимостта на горното условие следва лесно от свойствата на скаларното произведение. За да се установи достатъчността е необходимо да се проверят аксиомите за скаларно произведение.

Хамелево измерение[редактиране | редактиране на кода]

От пълнотата на банаховите пространства и теоремата на Бер за категориите следва, че хамелевият базис на безкрайномерно банахово пространство е неизброим.

Производни[редактиране | редактиране на кода]

Няколко вида производни могат да се дефинират в банахово пространство. Виж производна на Фреше и производна на Гато.

Обобщения[редактиране | редактиране на кода]

Няколко важни пространства във функционалния анализ като например пространството на безкрайно-диференцируемите функции RR или пространството на обобщените функции в R, не са банахови. Виж пространство на Фреше и LF-пространство.

Литература[редактиране | редактиране на кода]

Исторически монографии на английски, френски и полски език:

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Banach space“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода, и списъка на съавторите.