Банахово пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Банаховите пространства, носещи името на Стефан Банах, са основния предмет на изучаване във функционалния анализ. Много безкрайномерни функционни пространства са всъщност банахови пространства.

Определение[редактиране | edit source]

Банахово пространство е пълно нормирано линейно пространство. Това означава с други думи, че банахово пространство е линейно пространство V над реалните или комплексните числа с норма ||·||, такава че всяка редица на Коши (спрямо метриката d(x, y) = ||xy||) във V има граница във V. Понеже нормата определя топология в линейното пространство, всяко банахово пространство е пример за топологично линейно пространство.

Примери[редактиране | edit source]

Нека K означава едно от полетата R или C.

Добре познатото евклидово пространство Kn с евклидова норма на x = (x1, ..., xn), зададена с ||x|| = (∑ |xi|2)1/2, е банахово.

Пространството на всички непрекъснати функции f : [a, b] → K, дефинирани в затворения интервал [a, b] става банахово, ако се зададе норма на функцията с ||f|| = sup { |f(x)| : x in [a, b] }, позната и като супремум-норма. Тя е норма, понеже непрекъснатите функции в затворен интервал са ограничени. Пространството е пълно спрямо тази норма и се означава с C[a, b]. Този пример може да се обобщи за пространството C(X) от всички непрекъснати функции XK, където X е компактно пространство, или за пространството на всички ограничени непрекъснати функции XK, където X е топологично пространство или за множеството B(X) от всички ограничени функции XK, където X е произволно множество. В гореизброените примери функциите могат да се умножават и резултатът е фунцкия от същия вид: т.е. тези пространства са и банахови алгебри.

За всяко отворено множество Ω ⊆ C, множеството A(Ω) от ограничените аналитични функции u : Ω → C e комплексно банахово пространство спрямо супремум-нормата. Фактът, че равномерната граница на аналитични функции е отново аналитична е лесно следствие от теоремата на Морера.

Ако p ≥ 1 е реално число, може да се разглежда пространството от безкрайни редици (x1, x2, x3, ...) от елементи на K, такива че безкрайният редi |xi|p е сходящ. p-ят корен от стойността на сумата се нарича p-норма на редицата. Пространството, оборудвано с тази норма, е банахово и се означава с l p.

Банаховото пространство съдържа всички ограничени редици от елементи на K; нормата на такава редица се полага като супремума на абсолютните стойности на членовете на редицата.

Ако p ≥ 1 е реално число, могат да се разглеждат функциите f : [a, b] → K такива че |f|p е интегруема по Лебег. p-ят корен на интеграла \int_a^b|f(x)|^p\,dx се полага за норма на f. От само себе си това пространство не е банахово, понеже има ненулеви функции с норма 0. Затова се полага релация на еквивалентност по следния начин: f and g са еквивалентни тогава и само тогава, когато нормата на f - g е нула. Пространството от съседни класове на тази релация е банахово и се означава с L p[a, b]. От особена важност е да се използва лебеговия интеграл, а не римановия, понеже интегралът на Риман няма да доведе до пълно пространство. За още примери виж L p.

Ако M е затворено линейно подмножество на банаховото пространство X, тогава пространството X/M от съседни класове е също банахово.

Всяко скаларно произведение дефинира норма. Ако пространството е пълно спрямо тази норма, то се нарича хилбертово пространство. Всяко хилбертово пространство е банахово по определение. Обратното твърдение не винаги е вярно.

Дуално пространство[редактиране | edit source]

Ако V е банахово и K е съответното поле (т. е. реалните или комплексните числа), то K е само по себе си банахово (използвайки абсолютната стойност за норма). Можем да дефинираме дуалното пространство V′ като V′ = L(V, K), пространството от непрекъснатите линейни изображения в K. То е също банахово пространство (с операторна норма). Чрез него се дефинира нова топология във V: слаба топология.

Трябва да се отбележи, че условието за непрекъснатост е необходимо; ако V е безкрайно-мерно, съществуват линейни изображения, които са прекъснати и следователно не са ограничени, т. е. пространството V* от линейни изображения в K не би било банахово. Пространството V* (наричано и алгебрично-дуално, за да се различава от V') също поражда слаба топология, която е по-фина от топологията, породена от дуалното пространство V′⊆V*.

Съществува естествено изображение F от V във V′′ (дуалното на дуалното пространство), зададено с

'x'(f) = f(x)

за всяко x\in V и f\in V'. Понеже x' е функция от V′ в K, тя е елемент от V′′. Изображението F: x \mapsto x' е следователно функция VV′′. Следствие от теоремата на Хан-Банах е, че това изображение е инективно; ако е и сюрективно, банаховото пространство V се нарича рефлексивно. Рефлексивните пространства притежават важни геометрични свойства. Едно пространство е рефлексивно тогава и само тогава, когато дуалното му пространство е рефлексивно, което е изпълнено тогава и само тогава, когато единичното кълбо е компактно в слабата топология.

Например lp е рефлексивно за 1<p<∞ но l1 и l не са рефлексивни. Дуалното пространство на lp е lq, където p и q са свързани чрез зависимостта \frac1p + \frac1q = 1. Виж L p.

Връзка с хилбертови пространства[редактиране | edit source]

Както вече се спомена, всяко хилбертово пространство е банахово, понеже по определение хилбертовото пространство е пълно спрямо нормата, зададена чрез скаларното произведение по формулата \|v\|^2 = \langle v,v\rangle за всяко v.

Обратното твърдение не е винаги вярно, не всяко банахово пространство е хилбертово. Необходимо и достатъчно условие да се дефинира скаларно произведение в банахово пространство V е тъждеството на успоредника:

\|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 = 2(\|u\|^2 + \|v\|^2)

за всички u и v във V, където с ||*|| се означава нормата във V. Така например докато \mathbb{R}^n е банахово спрямо всяка добре-дефинирана в него норма, то е хилбертово само спрямо евклидовата норма. По същия начин като безкрайно-мерен пример може да се посочи лебеговото пространство Lp, което е винаги банахово, но е хилбертово, само когато p = 2.

Ако нормата на едно банахово пространство изпълнява горното тъждество, съответното скаларно произведение в хилбертовото пространство се задава с тъждеството на поляризацията. Ако V е реално банахово пространство, това тъждество има вида

\langle u,v\rangle = \frac{1}{4} (\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2)

докато ако V е комплексно банахово пространство, то тъждеството има вида

\langle u,v\rangle = \frac{1}{4} \left(\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2 + i(\|u+iv\|^2 - \|u-iv\|^2)\right).

Необходимостта на горното условие следва лесно от свойствата на скаларното произведение. За да се установи достатъчността е необходимо да се проверят аксиомите за скаларно произведение.

Хамелево измерение[редактиране | edit source]

От пълнотата на банаховите пространства и теоремата на Бер за категориите следва, че хамелевият базис на безкрайномерно банахово пространство е неизброим.

Производни[редактиране | edit source]

Няколко вида производни могат да се дефинират в банахово пространство. Виж производна на Фреше и производна на Гато.

Обобщения[редактиране | edit source]

Няколко важни пространства във функционалния анализ като например пространството на безкрайно-диференцируемите функции RR или пространството на обобщените функции в R, не са банахови. Виж пространство на Фреше и LF-пространство.

Литература[редактиране | edit source]

Исторически монографии на английски, френски и полски език:

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Banach space“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.