Контурна графика на бета-функция. В математиката , бета-функцията (Β Ойлеров интеграл от първи род, е специална функция , определяна чрез
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}
за Re x > 0, Re y > 0 .
Бета-функцията е изучавана от Ойлер и Льожандър , а името ѝ е дадено от Жак Бине .
Бета-функцията е симетрична , което ще рече, че[1]
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).}
Ключово свойство на тази функция е връзката ѝ с гама-функцията .[1]
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}
Когато x и y са положителни цели числа, от определението на гама-функцията Γ следва, че:
B
(
x
,
y
)
=
(
x
−
1
)
!
(
y
−
1
)
!
(
x
+
y
−
1
)
!
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
(
sin
θ
)
2
x
−
1
(
cos
θ
)
2
y
−
1
d
θ
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
B
(
x
,
y
)
=
n
∫
0
1
t
n
x
−
1
(
1
−
t
n
)
y
−
1
d
t
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
,
n
>
0
B
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
∞
(
n
−
y
n
)
x
+
n
,
B
(
x
,
y
)
=
x
+
y
x
y
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
y
n
(
x
+
y
+
n
)
)
−
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=n\int _{0}^{1}t^{nx-1}(1-t^{n})^{y-1}\,dt,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0,\ n>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {n-y}{n}}{x+n}},\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\end{aligned}}}
Бета-функцията удовлетворява няколко интересни тъждества, включително:
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
+
1
)
+
B
(
x
+
1
,
y
)
B
(
x
+
1
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
⋅
x
x
+
y
B
(
x
,
y
+
1
)
=
B
(
x
,
y
)
⋅
y
x
+
y
B
(
x
,
y
)
⋅
(
t
↦
t
+
x
+
y
−
1
)
=
(
t
→
t
+
x
−
1
)
∗
(
t
→
t
+
y
−
1
)
x
≥
1
,
y
≥
1
,
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
B
(
x
,
1
−
x
)
=
π
sin
(
π
x
)
B
(
1
,
x
)
=
1
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)\\[6pt]\mathrm {B} (x+1,y)&=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y+1)&=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\to t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\to t_{+}^{y-1}{\Big )}&&x\geq 1,y\geq 1,\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,1-x)&={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}}\\[6pt]\mathrm {B} (1,x)&={\dfrac {1}{x}}\end{aligned}}}
където t ↦ t x конволюция .
Най-долното тъждество по-горе показва в частност, че Γ(1 / 2) = √π . Някои от тези тъждества, например тригонометричната формула, могат да се приложат при извеждането на обема на n -елипсоида в Декартови координати .
Ойлеровият интеграл за бета-функцията може да се преобразува в интеграл по контур на Покхамер C както следва:
(
1
−
e
2
π
i
α
)
(
1
−
e
2
π
i
β
)
B
(
α
,
β
)
=
∫
C
t
α
−
1
(
1
−
t
)
β
−
1
d
t
.
{\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}
Този интеграл е сходящ за всички стойности на α и β и така предоставя аналитично продължение на бета-функцията.
Както гама-функцията за цели числа описва факториелите , бета-функцията може да определя биномен коефициент , след като се нагодят индексите:
(
n
k
)
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}
Освен това, за цяло число n , Β може да приеме такъв коефициент, че да дава затворена форма, функция на интерполация за непрекъснати стойности на k :
(
n
k
)
=
(
−
1
)
n
n
!
⋅
sin
(
π
k
)
π
∏
i
=
0
n
(
k
−
i
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}
Бета-функцията е първата позната матрица на разсейване в струнната теория , което е предположено за пръв път от Габриеле Венециано .
За да се изведе интегралното представяне на бета-функцията, произведението на двата факториела трябва да бъде записано като
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
u
=
0
∞
e
−
u
u
x
−
1
d
u
⋅
∫
v
=
0
∞
e
−
v
v
y
−
1
d
v
=
∫
v
=
0
∞
∫
u
=
0
∞
e
−
u
−
v
u
x
−
1
v
y
−
1
d
u
d
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}
Променянето на променливите u = f (z ,t ) = zt v = g (z ,t ) = z (1 − t )
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
z
=
0
∞
∫
t
=
0
1
e
−
z
(
z
t
)
x
−
1
(
z
(
1
−
t
)
)
y
−
1
|
J
(
z
,
t
)
|
d
t
d
z
=
∫
z
=
0
∞
∫
t
=
0
1
e
−
z
(
z
t
)
x
−
1
(
z
(
1
−
t
)
)
y
−
1
z
d
t
d
z
=
∫
z
=
0
∞
e
−
z
z
x
+
y
−
1
d
z
⋅
∫
t
=
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
=
Γ
(
x
+
y
)
B
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}{\big |}J(z,t){\big |}\,dt\,dz\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt\,dz\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\\&=\Gamma (x+y)\,\mathrm {B} (x,y),\end{aligned}}}
където |J (z ,t ) е абсолютната стойност на детерминантата на матрицата на Якоби за u = f (z ,t )v = g (z ,t )
Това тъждество може да бъде разгледано и като частен случай на тъждеството за интеграл от конволюция. Имайки дадени
f
(
u
)
:=
e
−
u
u
x
−
1
1
R
+
g
(
u
)
:=
e
−
u
u
y
−
1
1
R
+
,
{\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{x-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{y-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}
се получава:
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
R
f
(
u
)
d
u
⋅
∫
R
g
(
u
)
d
u
=
∫
R
(
f
∗
g
)
(
u
)
d
u
=
B
(
x
,
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (x,y)\,\Gamma (x+y).}
Имаме
∂
∂
x
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},}
където ψ (x )дигама-функция .
Формулата на Стърлинг дава асимптотичната формула
B
(
x
,
y
)
∼
2
π
x
x
−
1
/
2
y
y
−
1
/
2
(
x
+
y
)
x
+
y
−
1
/
2
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}
за големи x и y . Ако x е голямо, но y е точно определено, тогава
B
(
x
,
y
)
∼
Γ
(
y
)
x
−
y
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}
↑ а б Davis (1972) 6.2.2 с.258
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=n\int _{0}^{1}t^{nx-1}(1-t^{n})^{y-1}\,dt,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0,\ n>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {n-y}{n}}{x+n}},\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d798e3c491712526127e639047ac555fde795f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)\\[6pt]\mathrm {B} (x+1,y)&=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y+1)&=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\to t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\to t_{+}^{y-1}{\Big )}&&x\geq 1,y\geq 1,\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,1-x)&={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}}\\[6pt]\mathrm {B} (1,x)&={\dfrac {1}{x}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfce8ff7a66016046cfa51c5d02516f09555eb8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b69ef295b94e4f0d6cfff0b9a7c58dc59244bcd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}{\big |}J(z,t){\big |}\,dt\,dz\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt\,dz\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\\&=\Gamma (x+y)\,\mathrm {B} (x,y),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481b37eba1d2b5f28eb4cb18104bd98bf59efbe2)
