Векторен анализ

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Векторният анализ е раздел от математиката, изучаващ векторите в две или повече измерения. Методите на векторния анализ намират най-голямо приложение във физиката и инженерните науки.

Обект на изучаване във векторния анализ са скаларните полета, които свързват всяка точка на разглежданото поле със скаларна величина и векторните полета, които приписват на всяка точка вектор. Например в един плувен басейн температурата може да се представи със скаларно поле - във всяка точка има определена температура - докато потокът на водата трябва да се опише с векторно поле.

Много от резултатите на векторния анализ се разглеждат като частни случаи на диференциалната геометрия.

Оператори[редактиране | edit source]

Най-важните операции от векторния анализ са градиент, ротация и дивергенция. Четвъртата операция, оператор на Лаплас, представлява комбинация от градиента и дивергенцията. Сред най-важните теореми на векторния анализ е теоремата на Стокс.

Оператор Означение Описание
Градиент  \operatorname{grad}(f) = \nabla f измерва посоката и скоростта на промяна на едно скаларно поле.
Ротация  \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} Измерва тенденцията за въртене около дадена точка във векторно поле.
Дивергенция  \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} Измерва големината на източника в дадена точка на векторното поле.
Оператор на Лаплас  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f Комбинация от дивергенция и градиент.