Външен ъгъл

Външният ъгъл е равен на разликата между 180° и вътрешния ъгъл. Може да приема стойности от 0° до 180°.

Дефиниция

Ако продължим страната ВС на триъгълника АВС, както е на картинката, се получава ъгъл d, който е разположен извън триъгълника и е съседен на ъгъл b. Външен ъгъл на триъгълник се нарича съседният на кой да е вътрешен негов ъгъл.

Всеки ъгъл на триъгълника има по 2 съседни ъгъла. Следователно един триъгълник има шест външни ъгъла – 2 по 2 равни.

От свойство на съседни ъгли следва, че d = 180⁰ – b.

Теорема

Всеки външен ъгъл е равен на сбора на двата вътрешни, несъседни нему, ъгъла.

Доказателство:

От определението за външен ъгъл следва, че d = 180⁰ – b.

От сбор на ъгли в триъгълник следва, че a + b + c = 180⁰,

Следователно a + c = 180⁰ – b, но и d = 180⁰ – b.

Следователно a + c = d, което трябваше да докажем.

Следствие

Всеки външен ъгъл на триъгълника е по-голям от всеки вътрешен, несъседен нему, ъгъл от същия триъгълник.

Примерна задача

Два от външните ъгли на триъгълник са 110⁰ и 120⁰. Намерете третия външен ъгъл и вътрешните ъгли на триъгълника.

Решение:

Нека α' е съседен на α и α' = 180⁰ – α = 110⁰. Следователно α = 70⁰.

Аналогично β' е съседен на β и β' = 180⁰ – β. Следва, че β = 60⁰.

Аналогично β' е съседен на β и β' = 180 – β. β = 60.

От сбор на ъгли в триъгълник следва, че α + β + γ = 180⁰.

Следователно γ = 180⁰ – 60⁰ – 70⁰ = 50⁰.

Понеже γ е съседен на последния външен ъгъл γ' – следва че γ' = 180⁰ – γ = 130⁰.

От тази задача следва и че сборът на външните ъгли на триъгълника е равен на 360⁰, което важи и за всеки триъгълник.