Външен ъгъл

Външен ъгъл

Външният ъгъл в един триъгълник е ъгъл, съседен на някой от вътрешните му ъгли и може да приема стойности от 0° до 180°. Ако продължим страната ВС на триъгълника АВС, както е на картинката, се получава ъгъл d, който е разположен извън триъгълника и е съседен на ъгъл b.

Всеки ъгъл на триъгълника има по 2 съседни ъгъла, връхни помежду си и следователно равни един на друг. Така един триъгълник има шест външни ъгъла – 2 по 2 равни.

От свойство на съседни ъгли следва, че d = 180⁰ – b.

Теорема за външните ъгли

Всеки външен ъгъл е равен на сбора на двата вътрешни ъгъла, несъседни с него.

Доказателство:

От определението за външен ъгъл следва, че d = 180° – b.

От сбор на ъгли в триъгълник следва, че a + b + c = 180°,

Следователно a + c = 180° – b, но и d = 180° – b.

Следователно a + c = d, което трябваше да докажем.

Следствия

1. Всеки външен ъгъл на триъгълника е по-голям от всеки вътрешен, несъседен нему ъгъл от същия триъгълник.
2. Сборът на външните ъгли на триъгълника е равен на 360°.

Примерна задача

Два от външните ъгли на триъгълник са 110° и 120°. Намерете третия външен ъгъл и вътрешните ъгли на триъгълника.

Решение:

Нека α' е съседен на α и α' = 180° – α = 110°. Следователно α = 70°.

Аналогично β' е съседен на β и β' = 180° – β. Следва, че β = 60°.

Аналогично β' е съседен на β и β' = 180 – β. β = 60.

От сбор на ъгли в триъгълник следва, че α + β + γ = 180°.

Следователно γ = 180° – 60° – 70° = 50°.

Понеже γ е съседен на последния външен ъгъл γ' – следва че γ' = 180° – γ = 130°.