Гъсто множество

Гъсто множество е термин в топологията и свързаните области на математиката. Едно подмножество $A$ на топологичното пространство $X$ се нарича гъсто (в $X$), ако всяка точка от $X$ може да бъде „добре апроксимирана“ с точки от $A$.

Формално, $A$ е гъсто в $X$, ако $\forall x\in X$ произволна околност на $X$ съдържа поне една точка от $A$.

С други думи, $A$ е гъсто в $X$, ако единственото затворено подмножество на $X$, съдържащо $A$, е самото $X$. Казано по трети начин, обвивката на A е X, или вътрешността на допълнението на A е празното множество.

Гъстота на метрични пространства

Алтернативна дефиниция на гъсто множество в случая на метрично пространство е следната: Множеството A в метричното пространство X е гъсто ако всяко x от X е граница на редица от елементи в A. Наистина, когато топологията на X е зададена чрез метрика, затворената обвивка ${\bar {A}}$ на A в X е множеството от всички граници на елементите в A,

${\bar {A}}=\{\lim _{n}a_{n}:\forall n\geq 0,\ a_{n}\in A\}.$