Делимост на целите числа

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Легенда[редактиране | редактиране на кода]

(Променлива)е(Множество) — аeN — a принаделжи на множеството на естественните числа

Променлива(множество) — а(N) — a принадлежи на N

Е — ∃ — Съществува

V — За всяко

: — Такова че (в контекст на символно изразяване)

! — (Символно изразяване) Единственни — (Логически контекст) логическо отрицание, а!=0, четем а не е равно на 0

Делимост на целите числа[редактиране | редактиране на кода]

В тази статия под число имаме предвид променлива от множеството на целите числа. Z = {…,-2,0,5,…}.

В това множество операцийте сума, разлика, произведение на 2 цели числа също е цяло число. Частното на две цели числа не винаги е цяло число, затова се заражда нуждата от правила за делимост в множеството на целите числа.

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Ще казваме, че b дели a ако а може да се изрази чрез следното равенство a=b(Z)*q(Z)

Символно[редактиране | редактиране на кода]

VaEbn:a=bn*qn ; neN, n>2, beZ, qeZ

Пояснение: n>2[редактиране | редактиране на кода]

Защото всяко число се дели на себе си и на едно, тоест:
При а=bq

  1. b=a, a=a*1
  2. b=1, a=1*a

Означаваме[редактиране | редактиране на кода]

b|a — b дели а

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

  1. Va, a|a
  2. a|b, b|a => a=b, a=-b
  3. a|b, b|c => a|c
  4. а|b, c(Z) => a|b*c
  5. a|b, a|c => a|b+(-)c
  6. a|b1, a|b2, , a|bn ; c1, c2,, cn =>a|(c1b1 + c2b2 + + cnbn
  7. a|(a1 + a2++an), a|a1, a|2, , a|an-1 => a|an

Доказателство на свойствата[редактиране | редактиране на кода]

Следствия[редактиране | редактиране на кода]

  1. а|(b+c), a|b => a|c (От св.7)

Теорема за делене с остатък[редактиране | редактиране на кода]

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Всяко а(Z) може са се представи по единствен начин чрез b(N) във вида а=bq+r, 0<(=)r < b

Символно[редактиране | редактиране на кода]

VaE!b,q,r:a=b*q+r ; beN ; q,reZ ; 0<(=)r< b

Доказателство[редактиране | редактиране на кода]

0 <(=) a < b[редактиране | редактиране на кода]

a=b*0 + a ; r=a, q=0

b<(=)a[редактиране | редактиране на кода]

Eq1(N):b*q1>a => b*q1-1<(=)a < b*q
Нека q(N) = q1-1
bq<(=)a < b(q+1) => bq<(=)a < bq+b
От beZ (По определение) => а = bq + {0,1,…,b-1}
r = {0,1,…,b-1}
a=bq + r

a<0[редактиране | редактиране на кода]

-a>0
-a=bh+k, 0<(=)k < b => a=b(-h)+(-k) => b(-h)-b+b-k => b(-h-1)+b-k
Нека, а:=-h-1, r:=b-k
Тъй като 0<(=)k< b => 0<(=)(b-k)=(r) < b
a=bq+r

Единственост[редактиране | редактиране на кода]

Ще докажем единствеността на тъждеството а=bq+r.
За целта предполагаме обратното.

Доказателство[редактиране | редактиране на кода]

Нека:

  1. а=bq+r
  2. a=bq1+r1

Оттук:

bq+r = bq1+r1 => b(q-q1)=r1-r => b|r1-r

От r < b, r1< b (По определение) => |r1-r|< b => r1-r = 0 => q=q1, r=r1

Пояснение : |r1 — r|< b => r1 — r = 0[редактиране | редактиране на кода]

Нека b|a. По определение а=bq

При |a|< b
Пример: 5|2 => 2=5*q, От q(Z) => #

Тоест, единствената възможност а < b, a=0 => 0=5*0 => q=0

Следствия[редактиране | редактиране на кода]

  1. m|n, |n|<m => n=0
  2. m|n, n!=0 => |m|<(=)|n|