Делта-функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Схематично представяне на делта-функцията чрез стрелка върху права. Височината на стрелката обикновено означава стойността на всяка мултипликативна константа, която би дала площта под функцията.
Делта-функцията като границата на редица на нормално разпределение с нулев център когато .
Гребенът на Дирак е безкраен ред от делта-функции на интервал T.

В математиката, делта-функция (също δ-функция, функция на Дирак, или единична импулсна функция[1]) е обобщена функция, въведена от физика Пол Дирак. Използва се за моделиране на плътността на идеализирана материална точка или точков заряд като функция, равна на нула навсякъде, освен при нулата, и чийто интеграл над цялата права на реалните числа се равнява на единица.[2][3][4] Тъй като не съществува функция, която има тези свойства, изчисленията, правени от теоретичните физици, изглеждат като безсмислени за математиците до въвеждането на разпределенията от Лоран Шварц за формализиране и валидиране на тези пресмятания. Следователно, функцията на Дирак е линейна форма, която нанася всяка функция към стойността ѝ при нула.[5][6] Функцията Кронекер делта, която обеикновено е определена в дискретна област и взема стойности 0 и 1, е дискретният аналог на делта-функцията.

В инженерството и обработката на сигнали, делта-функцията може да се наблюдава чрез нейната трансформация на Лаплас, която идва от граничните стойности на комплексна аналитична функция на комплексна променлива. Формалните правила, на които се подчинява тази функция, са част от операционното изчисление във физиката и инженерството. В много случаи функцията на Дирек се разглежда като вид граница на редица от функции, които имат голямо нарастване в началото си.

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Делта-функцията може да бъде разглеждана като функция върху правата на реалните числа, която е равна на нула навсякъде, освен в началото си, където е безкрайна,

и е ограничена така, че да удовлетворява тъждеството

[7]

Следва да се отбележи, че това е само евристична характеризация. Дираковата функция не е функция в традиционния смисъл, тъй като никой функция, определена в областта на реалните числа няма тези свойства.[8] В по-строг смисъл, делта-функцията може да бъде счетена за разпределение или за мяра.

Обобщения[редактиране | редактиране на кода]

Делта-функцията може да бъде определена като Евклидово пространство с n измерения Rn като

за всяка компактна непрекъсната функция f. Като мярка, за n-измерната делта-функция, използвайки x = (x1, x2, ..., xn), имаме:[1]

 

 

 

 

(2)

Делта-функцията може да бъде определена и в областта на разпределенията в едноизмерно пространство.[9] Обаче, въпреки широкото си приложение в инженерен контекст, с това уравнение трябва да се борави внимателно, тъй като произведението от разпределение може да бъде определено при много тясно зададени случаи.[10]

Така наречената мярка на Дирак има смисъл във всякакво числово множество.[11] Ако X е множество, x0X е определена точка, а Σ е всякаква сигма-алгебра подмножества от X, тогава мярката е определена в множествата A ∈ Σ чрез

което е делта-мярката или единицата маса, концентрирана в x0.

Друго често срещано обобщение на делта-функцията е до гладко многообразие, при които повечето от свойствата ѝ на разпределение също могат да бъдат използвани, благодарение на диференциалната структура. Делта-функцията в многообразие M, центрирана в точка x0M, се определя чрез следното разпределение:

 

 

 

 

(3)

за всички гладки реалночислени функции φ в M.[12] Често срещан частен случай на тази конструкция е, когато M е отворено множество в Евклидовото пространство Rn.

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Мащабиране и симетрия[редактиране | редактиране на кода]

Делта-функцията удовлетворява следното мащабируемо свойства за ненулев скалар α:[13]

и така

 

 

 

 

(4)

В частност, делта-функцията е четно разпределение в смисъл такъв, че

която е хомогенна.

Алгебрични свойства[редактиране | редактиране на кода]

Произведението на разпределението δ при x е равно на нула:

От друга страна, ако xf(x) = xg(x), където f и g са разпределения, тогава

за дадена константа c.[14]

Транслация[редактиране | редактиране на кода]

Интегралът на делта-функция, забавена във времето, е:

Следва, че въздействието на конволюиране функция f(t) със забавената във времето функция на Дирак, е да забави във временно f(t) със същата стойност:

      (using  (4): )

Това важи при условие, че f е темперирано разпределение. Като частен случай, например, имаме тъждеството (в смисъл на разпределение):

Съставяне с функция[редактиране | редактиране на кода]

По-общо, делта-разпределението може да бъде съставено чрез гладката функция g(x) по такъв начин, че да важи:

при условие, че g е непрекъснато диференцируема функция, при която g' никъде не е нула.[15] Тоест, съществува един единствен начин да се придаде значение на разпределението така, че това тъждество да важи за всички тестови функции f. Следователно, областта трябва да се разпокъса, за да се изключи точката, в която g′ = 0. Това разпределение удовлетворява δ(g(x)) = 0, ако g не е нула никъде, а в противен случай, ако g има реален корен в x0, тогава

Следователно, естествено е да се определи композицията δ(g(x)) за непрекъснати диференцируеми функции g чрез

където сборът се разпростира над всички корени на g(x), за които се счита, че са прости.[15] Оттук, например

В интегрална форма обобщеното свойство на мащабиране може да бъде записано като

Свойства в n измерения[редактиране | редактиране на кода]

Делта-разпределението в n-измерно пространство удовлетворява следното свойство на мащабиране:

така че δ е хомогенно разпределение. При всякакво отражение или ротация ρ, делта-функцията е инвариантна:

Както и в случая с една променлива, възможно е да се определи композицията на δ с двойна Липшицова функция g: RnRn по такъв начин, че важи тъждеството

за всички компактни функции f.

Ако S е гладка хиперповърхност на Rn, тогава към S може да се свърже разпределението, което интегрира всяка компактна гладка функция g по S:

където σ е мярката на хиперпорвъхността, свързана с S. Ако D е област в Rn с гладка граница S, тогава δS е равна на производната по нормалата на индикаторната функция на D:

където n е нормалата, насочена навън.[16][17]

Трансформация на Фурие[редактиране | редактиране на кода]

Делта-функцията е темперирано разпределение и следователно има точно определена трансформация на Фурие:

В по-строг смисъл, трансформацията на Фурие на разпределение с определя чрез налагане на самостоятелна долепеност на трансформацията на Фурие при сдвояване на темперирано разпределение с функции на Шварц. Следователно, се определя като единственото темперирано разпределение, удовлетворяващо

за всички функции на Шварц φ. Наистина, от това следва, че

В резултат от това тъждество, конволюцията на делта-функцията с кое да е друго темперирано разпределение S е просто S:

Тоест δ е неутрален елемент за конволюцията на темперирани разпределения. Това свойство е особено важно при обработката на сигнали, тъй като конволюцията с темперирано разпределение е линейна система в инвариантно време, при което може да се измерва импулсната преходна функция. Тази функция може да се изчисли до дадена желана степен на точност, като се избира удобно приближение на δ, и веднъж щом бъде узната, тя характеризира изцяло системата.

Обратната трансформация на Фурие върху темперирано разпределение f(ξ) = 1 дава делта-функцията. Формално, това се изразява чрез

Чрез аналитично продължение на трансформацията на Фурие, трансформацията на Лаплас на делта-функцията е:[18]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. а б Bracewell 1986, Chapter 5
  2. Arfken & Weber 2000, с. 84
  3. Dirac 1958, §15 The δ function , с. 58
  4. Gel'fand & Shilov 1968, Volume I, §1.1
  5. Gel'fand & Shilov 1968, Volume I, §1.3
  6. Schwartz 1950, с. 3
  7. Gel'fand & Shilov 1968, Volume I, §1.1, p. 1
  8. Dirac 1958, §15
  9. Hörmander 1983, §3.1
  10. Strichartz 1994, §2.3
    Hörmander 1983, §8.2
  11. Rudin 1966, §1.20
  12. Dieudonné 1972, §17.3.3
  13. Strichartz 1994, Problem 2.6.2
  14. Vladimirov 1971, Chapter 2, Example 3(d)
  15. а б Gel'fand & Shilov 1966 – 1968, Vol. 1, §II.2.5
  16. Lange 2012, pp.29 – 30
  17. Gelfand Shilov, с. 212
  18. Bracewell 1986