Диференциал (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на диференциал.

Диференциал е понятие в математическия анализ, въведено от Лайбниц и Бернули като описание на така наречените "безкрайно малки величини" и "безкрайно малки промени". Лайбниц и Бернули въвеждат означението за диференциал на променливата . Понятието диференциал, което на времето се е считало за едно от основните понятия на диференциалното и интегралното смятане, днес играе второстепенна роля в анализа. В известен смисъл, особено що се отнася до диференциалното смятане на функциите на една променлива, може да се каже, че неговото въвеждане изобщо не е необходимо. Понятието производна се оказва напълно достатъчно, за да бъдат формулирани всички по-съществени резултати от тази част на анализа.

Нека е функция , дефинирана в някоя околност на дадена точка . Изменението на стойността на дадена величина може да се означи с . Когато обаче промяната е много малка, тя се обозначава с , което представлява удобство от практическа гледна точка, понеже:

  • Производната по дефиниция е границата на диференчното частно, когато . Това позволява производната, която е равна по дефиниция на:

, да се запише по значително по-простия начин:

,

откъдето получаваме за диференциала на функцията f(x):

.

Това понятие се обобщава за функции с n реални променливи по следния начин:

.

  • Това обозначение е удобно и при интегралното смятане. С израза:

се дава вярна представа за интеграла като сума от безкрайно малки изменения на функцията.


Интерпретация[редактиране | редактиране на кода]

Ако гледаме на диференциала като на функция на променливата , то той може да се интерпретира като приближение на нарастването на около точката със свойството:

Литература[редактиране | редактиране на кода]

  • Математический анализ: Введение в анализ, производная, интеграл. Справочное пособие по высшей математике. Т.1, И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач, Едиториал УРСС, 2001