Имагинерна единица

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
(повтаря се моделът на областта в синьо)
(повтаря се моделът на областта в синьо)

В математиката, физиката и инженерните науки имагинерната единица се означава с   или латинското   или гръцката буква ( ι ) (Виж алтернативните означения по-долу). Тя позволява системата на реалните числа, да бъде разширена до системата на комплексните числа,   Точната дефиниция на термина зависи от специфичния метод на разширение.

Главното основание за това разширение е фактът, че не всяко полиномиално уравнение има реални решения. Например, уравнението няма реално решение (виж „Определение“ по-долу). Въпреки това, ако приемем комплексните числа за приемливи решения, всяко полиномиално уравнение има решение. (Виж затвореност.)

За историята на имагинерната единица виж история на комплексните числа.


Определение[редактиране | редактиране на кода]

По определение, имегинерната единица е едното решение(от две възможни) на квадратното уравнение

или съответно

.

Доколкото не съществува реално число, което дава отрицателно реално число след като бъде повдигнато на квадрат, ние си въобразяваме (imagine) такова число и го означаваме със символа i. Дефиницията на i, макар и по-малко „интуитивна” от тази на реалните числа, е коректна от математическа гледна точка.

Действията с реални числа могат да бъдат разширени до действия с имагинерни и комплексни числа, приемайки i като неизвестна количествена величина, докато обработваме израза, и след това, използвайки определението, да заместим на всички места, на които се появява i 2 с −1. По-високите степени на също могат да бъдат заместени с −i, 1, , или −1:

и −[редактиране | редактиране на кода]

Доколкото е полином (многочлен) от втора степен, а дискриминантата му е различно от нула (т. е. няма повтарящи се корени), горното уравнение има две различни решения, които са еднакво валидни, а в конкретния случай и взаимно инверсни както адитивно, така и мултипликативно. По-точно, ако едното решение на уравнението сме означили с , стойността − (която не е равна на ) също се явява негово решение. Доколкото уравнението е единственото определение на , излиза, че определението ни е двусмислено (по точно, не добре дефинирано). Въпреки това, ако изберем едното от решенията за „положително", ни е не получаваме противоречащи си един на друг резултати. Това е така, защото въпреки че − и не се количествено еквивалентни (те са отрицателни едно по отношение на друго), няма качествена разлика между и − (което не може да бъде казано за −1 и +1). Двете имагинерни единици имат еднакво основание да бъдат числото, чийто квадрат е −1. Ако всички публикации и учебници по математика, свързани с имагинерните или комплексните числа, бъдат пренаписани, като на всяко място, където се появява −, се замести с + (и следователно на всяко място, където се появява −, се замести с −(−) = +), всички математически факти и теореми ще продължат да бъдат еднакво валидни. Разграничаването на двата корена в уравнението с означаването на единия от тях като "положителен" е артефакт изключително на нотацията; за нито един от двата корена не може да се каже, че e по-първостепенен или фундаментален от другия.

Този резултат крие някои тънкости. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че въпреки че комплексното поле, определено като R[X]/ (X2 + 1), (виж комплексно число) е еднозначно до степен на изоморфизъм, то не е еднозначно до степен на еднозначен' изоморфизъм — съществуват точно 2 автоморфизма на R[X]/ (X2 + 1), идентичността и автоморфизмът, изобразяващ X като −X. (Това не са единствените автоморфизми в полето C, но са единствените, които съхраняват стойностите на всички реални числа фиксирани.) Виж комплексно число, комплексно спрягане, автоморфизъм, и група на Галоа.

Подобни резултати се получават и ако комплексните числа се интерпретират като 2 × 2 реални матрици (виж комплексно число), защото тогава както

така и

са решения на матричното уравнение

.

В този случай двусмисленият резултат произтича от геометричния избор в коя "посока" около единичната окръжност е "положителната" ротация. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че групата на автоморфизъм на SO (2, R) има точно 2 елемента — идентичността и автоморфизмът, който преобразува ротацията по часовниковата стрелка в ротация срещу часовниковата стрелка, и обратно.

Всички тези противоречия могат да бъдат решени чрез избор на по-строга дефиниция на комплексните числа, и експлицитно избирайки едно от решенията на уравнението за имагинерна единица.

Прецизна употреба[редактиране | редактиране на кода]

Имагинерната единица понякога бива означавана като ; при всички случаи трябва да се подхожда голямо внимание при преобразуване на формули, които съдържат радикали. Нотацията е запазена единствено за квадратния корен като функция, дефинирана единствено за реални числа ≥ 0. Опитът да се приложат правилата за преобразуване на математически изрази, които съдържат реалната функция корен квадратен, към математически изрази, които съдържат комплексната функция корен квадратен, ще доведе до погрешен резултат:

   (погрешно)

Правилото

е валидно само за реални, неотрицателни стойности на и .

За да се избегнат подобни грешки, когато се извършват действия с комплексни числа, стратегията е никога да не се употребява отрицателно число под знака за квадратен корен. Вместо да се запише израз от вида например, прецизният запис налага да запишем . Това е и причината, поради която е въведена имагинерната единица.

Корен квадратен от имагинерна единица[редактиране | редактиране на кода]

Може да предположим, че ще се наложи да разширим множеството на имагинерните числа, за да въведем квадратния корен от i. Това обаче не е необходимо и той може да бъде записан като което и да е от две комплексни числа [1]:

Това лесно може да бъде доказано:

Степени на [редактиране | редактиране на кода]

Степените на се повтарят циклично:

Тази зависимост може да бъде представена схематично по следния начин:

В случая n е произволно избрано цяло число. Оттук следва изводът, че

.

i и формулата на Ойлер[редактиране | редактиране на кода]

Формулата на Ойлер гласи:

,

където x е реално число. Формулата може също да бъде аналитично разширена за комплексни x.

Замествайки , получаваме

и достигаме до елегантното тъждество на Ойлер:

.

Това забележително просто равенство свързва пет важни математически величини (0, 1, π, e, чрез i) чрез основните действие сумиране, умножение и повдигане на степен.

Пример[редактиране | редактиране на кода]

Заместването на , където N е произволно избрано цяло число, дава

Или, повдигайки всяка от страните на степен ,

или

,

което показва, че има безкраен брой елементи от вида

където N е произволно цяло число. Тази реална стойност, въпреки че е реална, не е еднозначно определена. Причината за това се съдържа във факта, че комплексният логаритъм е функция, която има много значения.

Действия с i[редактиране | редактиране на кода]

Много математически операции, които магат да бъдат извършени с реалните числа, могат да бъдат извършени също с , като повдигане на степен, коренуване, логаритмуване и тригонометрични функции .

Число, подигнато на степен , дава:

Корен ти от число е:

Логаритъм при основа от число е:

Косинусът на е реално число:

Синусът на е имагинерен:

Алтернативни означения[редактиране | редактиране на кода]

  • В електроинженерните науки и свързаните с тях области имагинерната единица често се записва като за да се избегне объркване с електрическия ток като функция от времето, по традиция означаван с или просто   Програмният език Python също използва j за означаване на имагинерната единица, докато в Matlab и двете означения i и j са свързани с имагинерната единица.
  • По-внимателен подход изискват и някои учебници, където по дефиниция j = −i, в часност при случаите с разпространение на вълна (напр. плоска вълна, разпространяваща се надясно в направление x ).
  • Някои текстове използват гръцката буква йота (ι) за означаване на имагинерната единиза с цел да се избегне объркване.

Бележки[редактиране | редактиране на кода]

  1. На колко е равен квадратният корен от i?(en) URL актуализиран на 15 декември 2010.

Виж също[редактиране | редактиране на кода]

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Imaginary unit“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода, и списъка на съавторите.