Квадратно уравнение

Квадратно уравнение в математиката се нарича уравнение от втора степен от вида

$ax^{2}+bx+c=0$,

където a, b и c са параметри и

$a\neq 0$,

лявата страна на това уравнение е полином от втора степен.

$ax^{2}+bx+c$

се нарича квадратен тричлен.

Разлагане на квадратния тричлен на множители

Ако квадратният тричлен f(x) = a x² + b x + c има неотрицателна дискриминанта, той се разлага на линейни множители по следния начин:

$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}),$

където х₁, х₂ са корените на уравнението f(x) = 0.

Ако дискриминантата на квадратния тричлен е отрицателна, той не може да се разложи на линейни множители с реални коефициенти. В този случай казваме, че квадратният тричлен е неразложим.

Формули на Виет

Ако х₁ и х₂ са корените на квадратното уравнение а х² + b x + c = 0, то

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

Тези полезни връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение са установени от френския математик Франсоа Виет през XVII в. и поради това носят неговото име.

В сила е и следната теорема:

Ако числата х₁ и х₂ са такива, че х₁ + x₂ = p, х₁ x₂ = q, то тези числа са корени на уравненето х² – p x + q = 0.

Решаване на квадратно уравнение в нормален вид

Решаваме уравнението

$x^{2}+px+q=0\quad$

чрез допълване до точен квадрат (често прилаган в практиката метод):

$x^{2}+px+{\frac {p^{2}}{4}}-{\frac {p^{2}}{4}}+q=0\quad$

$x^{2}+px+{\frac {p^{2}}{4}}={\frac {p^{2}}{4}}-q\quad$

$\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q\quad$

$x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}\quad$

$x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}\quad$

Ако в реалния случай тук се получи под корена отрицателно число, последните две стъпки естествено не са допустими. В този случай на третия ред се вижда, че не може да има реално решение, защото дясната страна е отрицателна, а лявата като квадрат – не е отрицателна.

Геометрия

За квадратната функция:
f(x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) на реалната променлива x абсцисите на точките, в които графиката пресича оста x, а именно x = −1 и x = 2, са корени на квадратното уравнение: x² − x − 2 = 0.

Корените на квадратното уравнение

$ax^{2}+bx+c=0,\,$

са и нули на квадратната функция

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\,$

тъй като те са стойности на x, за които

$f(x)=0.\,$

Ако a, b и c са реални числа и дефиниционната област на f е множеството на реалните числа, тогава нулите на f са абсцисите на точките, в които графиката на функцията f пресича оста х. От горното следва, че ако дискриминантата е положителна, графиката пресича оста х в две точки; ако тя е нула, графиката се допира до оста х в една точка и ако е отрицателна, графиката не пресича оста х.

Разлагане на квадратен тричлен на множители

Членът x − r е множител на квадратния тричлен

$x^{2}+bx+c\,\!$

тогава и само тогава, когато r е корен на квадратното уравнение

$x^{2}+bx+c=0.\,\!$

Това следва от формулата за разлагане на квадратно уравнение на множители

$x^{2}+bx+c=(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}})(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}).\,\!$

Или от еквивалентното

$ax^{2}+bx+c=a(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}})(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}).\,\!$

В специалния случай, когато квадратното уравнение има един двоен корен, т.е. дискриминантата е нула, квадратният тричлен може да се разложи на множителите:

$ax^{2}+bx+c=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}.\,\!$

Уравнения, които се свеждат към квадратни

Уравнения от висока степен като

$2x^{6}+3x^{3}+5=0$

могат да се сведат до квадратни уравнения

$2u^{2}+3u+5=0$,

където

$u=x^{3}$.

Забележете, че най-високата степен е равна на удвоената степен на средния член. Полученото квадратно уравнение може да се реши директно или с проста субституция, като се използват методите за решаване на квадратни уравнения като разлагане на множители, допълване до точен квадрат и др.

Най-общо, ако полиномът е квадратен тричлен относно някоя променлива u, където

$u=x^{n}$,

тогава квадратното уравнение може да помогне, за да се реши уравнението от високата степен.

Вижте също

• Квадратна функция
• Функция