Квадратно уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката квадратно уравнение е уравнение от втора степен от вида

ax^2+bx+c=0,\,

където a, b и c са параметри и

a \ne 0.

Лявата страна на това уравнение е полином от втора степен.


ax^2+bx+c

се нарича квадратен тричлен

Разлагане на квадратния тричлен на множители[редактиране | edit source]

Ако квадратният тричлен f(x) = a x2 + b x + c има неотрицателна дискриминанта, той се разлага на линейни множители по следния начин:

f(x) = a (x - x_1) (x - x_2),

където х1, х2 са корените на уравнението f(x) = 0.

Ако дискриминантата на квадратния тричлен е отрицателна, той не може да се разложи на линейни множители с реални коефициенти. В този случай казваме, че квадратният тричлен е неразложим.

Формули на Виет[редактиране | edit source]

Ако х1 и х2 са корените на квадратното уравнение а х2 + b x + c = 0, то

x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, x_1 x_2 = \frac{c}{a}.

Тези полезни връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение са установени от френския математик Франсоа Виет през XVII в. и поради това носят неговото име.

В сила е и следната теорема:

Ако числата х1 и х2 са такива, че х1 + x2 = p, х1 x2 = q, то тези числа са корени на уравненето х2 - p x + q = 0.

Решаване на квадратно уравнение в нормален вид[редактиране | edit source]

Решаваме уравнението

 x^2+px+q=0 \quad

чрез допълване до точен квадрат (често прилаган в практиката метод):

 x^2+px+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q=0 \quad
 x^2+px+\frac{p^2}{4}=\frac{p^2}{4}-q \quad
 \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2}{4}-q \quad
 x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \quad
 x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \quad

Ако в реалния случай тук се получи под корена отрицателно число, последните две стъпки естествено не са допустими. В този случай на третия ред се вижда, че не може да има реално решение, защото дясната страна е отрицателна, а лявата като квадрат - не е отрицателна.



Геометрия[редактиране | edit source]

За квадратната функция:
f(x) = x2x − 2 = (x + 1)(x − 2) на реалната променлива x абсцисите на точките, в които графиката пресича оста x, а именно x = −1 и x = 2, са корени на квадратното уравнение: x2x − 2 = 0.

Корените на квадратното уравнение

ax^2+bx+c=0,\,

са и нули на квадратната функция

f(x) = ax^2+bx+c,\,

тъй като те са стойности на x, за които

f(x) = 0.\,

Ако a, b и c са реални числа и дефиниционната област на f е множеството на реалните числа, тогава нулите на f са абсцисите на точките, в които графиката на функцията f пресича оста х. От горното следва, че ако дискриминантата е положителна, графиката пресича оста х в две точки; ако тя е нула, графиката се допира до оста х в една точка и ако е отрицателна, графиката не пресича оста х.

Разлагане на квадратен тричлен на множители[редактиране | edit source]

Членът xr е множител на квадратния тричлен

x^2+bx+c\,\!

тогава и само тогава, когато r е корен на квадратното уравнение

x^2+bx+c=0.\,\!

Това следва от формулата за разлагане на квадратно уравнение на множители

x^2+bx+c = (x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4c}}{2}) (x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4c}}{2}).\,\!

Или от еквивалентното

ax^2+bx+c = a(x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}) (x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}).\,\!

В специалния случай, когато квадратното уравнение има един двоен корен, т.е. дискриминантата е нула, квадратният тричлен може да се разложи на множителите:

ax^2+bx+c = a(x + \frac{b}{2a})^2.\,\!

Уравнения, които се свеждат към квадратни[редактиране | edit source]

Уравнения от висока степен като

2x^6 + 3x^3 + 5 = 0,\,

могат да се сведат до квадратни уравнения

 2u^2 + 3u + 5 = 0, \

където

u = x^3 \ .

Забележете, че най-високата степен е равна на удвоената степен на средния член. Полученото квадратно уравнение може да се реши директно или с проста субституция, като се използват методите за решаване на квадратни уравнения като разлагане на множители, допълване до точен квадрат и др.

Най-общо, ако полиномът е квадратен тричлен относно някоя променлива u, където

u = x^n \,\;

тогава квадратното уравнение може да помогне, за да се реши уравнението от високата степен.

Източник[редактиране | edit source]

Quadratic equation - статия в Уикипедия на английски език [6 март 2008]

Вижте също[редактиране | edit source]