Константа на Ойлер – Маскерони

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Площта на синия район конвергира към константата на Ойлер – Маскерони.

Константата на Ойлер – Маскерони (наричана още константа на Ойлер) е математическа константа, появяваща се в математическия анализ и теорията на числата, обикновено обозначавана с гръцката буква гама (γ).

Определя се като сходящата разлика между хармоничен ред и естествен логаритъм:

Тук x представлява функция скобка.

Числената стойност на константата на Ойлер – Маскерони до 50-ия знак след десетичната запетая е:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

История[редактиране | редактиране на кода]

Константата се появява за пръв път през 1734 г. в труд на швейцарския математик Леонард Ойлер, озаглавен De Progressionibus harmonicis observationes. Ойлер използва означенията C и O за константата. През 1790 г. италианският математик Лоренцо Маскерони използва нотациите A и a за константата. Обозначението γ не присъства никъде в писанията на Ойлер или Маскерони и е избрано по-късно, вероятно заради връзката на константата с гама-функцията.[1] Например, немският математик Карл Антон Бретшнайдер използва означението γ през 1835 г.,[2] а Огъстъс Де Морган го използва в учебник, публикуван на части от 1836 до 1842 г.[3]

Проявления[редактиране | редактиране на кода]

Константата на Ойлер – Маскерони се проявява в следните места ('*' означава, че този запис съдържа подробно уравнение):

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Числото γ все още не е доказано, че е алгебрично или трансцендентно. Всъщност, не се знае дали γ е ирационално. Анализ на верижната дроб показва, че ако γ е рационално, то знаменателят му трябва да е по-голям от 10242080. Вездесъщността на γ, доказана от големия брой уравнения по-долу, прави ирационалността на γ голям отворен въпрос в математиката.

Връзка с гама-функцията[редактиране | редактиране на кода]

γ е свързана с дигама-функцията Ψ и следователно производната на гама функцията Γ, когато и двете функции се изчисляват с 1. Оттук:

Това е равно на границите:

По-нататъшните резултати за границите са:

Граница, свързана с бета-функцията (изразена спрямо гама-функции) е

Връзка със дзета-функцията[редактиране | редактиране на кода]

γ може също да бъде изразена като безкрайна сума, чиито условия включват дзета-функция на Риман, изчислена с положителни цели числа:

Други редове, свързани с дзета-функцията включват:

Условието на грешката в последното уравнение е бързо намаляваща функция на n. В резултат на това, формулата е подходяща за ефективно изчисление на на константата с висока точност.

Други интересни граници, равняващи се на константата на Ойлер – Маскерони са асиметричната граница:

и формулата на Вале-Пусен:

където са скобите на функцията скобка.

Тясно свързано с това е изразът на рационалните дзета редове. Взимайки отделно първите няколко условия на горните редове, може да се направи оценка за границата на класическия ред:

къдетоζ(s,k) е дзета-функцията на Хурвиц. Сборът в това уравнение включва хармонични числа, Hn. Разширявайки условията в дзета-функцията на Хурвиц, се получава:

където 0 < ε < 1252n6.

Интеграли[редактиране | редактиране на кода]

γ е равна на стойността на число от определени интеграли:

където Hx е дробното хармонично число.

Определени интеграли, в които се появява γ, са:

γ може да се изрази и така:

Интересно сравнение с двойният интеграл и променливият ред е:

То показва, че ln 4π може да бъде считано като „променлива Ойлерова константа“.

Двете константи също често се свързва от чифта редове

където N1(n) и N0(n) са броя единици и нули, съответно, в двоично разширение на n.

Разширение на редове[редактиране | редактиране на кода]

Ойлер показва, че следният безкраен ред приближава γ:

Редът за γ е еквивалентен на реда на Нилсен, открит през 1897 г.:

През 1910 г. Джовани Вака открива тясно свързаните редове:

където log2 е двоичен логаритъм, а ⌊ ⌋ функция скобка.

През 1926 г. той намира втори ред:

От разширението на логаритъма на гама-функцията на Малмстен-Кумер се получава:

Важно разширение за константата на Ойлер се дължи на Грегорио Фонтана и Лоренцо Маскерони:

където Gn са коефициенти на Грегъри.

Друго важно разширение с коефициенти на Грегъри, включващо константата на Ойлер е:

и конвергира за всички n.

Редове от прости числа:

Редове, свързани с квадратни корени:[4]

Асимптотични разширения[редактиране | редактиране на кода]

γ се равнява на следните асимптотични формули (kydeto Hn е n-тото хармонично число):

Третата формула се нарича също разширение на Рамануджан.

Експонента[редактиране | редактиране на кода]

Константата eγ е важна в теорията на числата. Някои автори обозначават тази величина просто като γ′. eγ е равно на следната граница, където pn е n-тото просто число:

Това потвърждава третата от теоремите на Мартенс.[5] Числената стойност на eγ е:

1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 …

Други безкрайни произведения, свързани с eγ, включват:

Също така, имаме:

където n-тата степен е (n + 1)-тият корен на

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Lagarias, Jeffrey C.. Euler's constant: Euler's work and modern developments. // Bulletin of the American Mathematical Society 50 (4). October 2013. DOI:10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. с. 556.
  2. Carl Anton Bretschneider: Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13 October 1835), Journal für die reine und angewandte Mathematik 17, 1837, с. 257 – 285 (in Latin; „γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3..)“
  3. Augustus De Morgan: The differential and integral calculus, Baldwin and Craddock, London 1836 – 1842 („γ“)
  4. http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html
  5. http://mathworld.wolfram.com/MertensConstant.html (14)