Константа на Ойлер – Маскерони

Константата на Ойлер – Маскерони (наричана още константа на Ойлер) е математическа константа, появяваща се в математическия анализ и теорията на числата, обикновено обозначавана с гръцката буква гама ( $γ$ ).

Определя се като сходящата разлика между хармоничен ред и натурален логаритъм:

Площта на синия район клони към константата на Ойлер – Маскерони.

{\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx.\end{aligned}}

Тук ⌊x⌋ представлява функция скобка.

Числената стойност на константата на Ойлер – Маскерони до 50-ия знак след десетичната запетая е:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992…

История

Константата се появява за пръв път през 1734 г. в труд на швейцарския математик Леонард Ойлер, озаглавен De Progressionibus harmonicis observationes. Ойлер използва означенията C и O за константата. През 1790 г. италианският математик Лоренцо Маскерони използва нотациите A и a за константата. Обозначението $γ$ не присъства никъде в писанията на Ойлер или Маскерони и е избрано по-късно, вероятно заради връзката на константата с гама-функцията.^[1] Например, немският математик Карл Антон Бретшнайдер използва означението $γ$ през 1835 г.,^[2] а Огъстъс Де Морган го използва в учебник, публикуван на части от 1836 до 1842 г.^[3]

Проявления

Константата на Ойлер – Маскерони се проявява в следните места ('*' означава, че този запис съдържа подробно уравнение):

Изрази, включващи интегрална показателна функция*
Трансформация на Лаплас за натурален логаритъм
Първо условие на разширението на реда на Лоран за дзета-функцията на Риман*
Изчисления на дигама-функция
Формула за произведение на гама-функция
Неравенство за функцията на Ойлер
Нарастване на сигма-функцията
Регулация на измеренията в диаграмата на Файнман
Трета теорема на Мертенс*
Решение от втори вид на уравнението на Бесел
Регулация на хармоничните редове като крайна стойност
Осредняване на разпределението на Гумбел
Ентропия на Шанън при разпределенията на Уейбъл и Леви и, имплицитно, на разпределението хи-квадрат за една или две степени на свобода
Някои формулировки на закона на Ципф
Определение на косинусовия интеграл*
Долни граници на интервалите между простите числа.

Свойства

Числото $γ$ все още не е доказано, че е алгебрично или трансцендентно. Всъщност, не се знае дали $γ$ е ирационално. Анализ на верижната дроб показва, че ако $γ$ е рационално, то знаменателят му трябва да е по-голям от 10²⁴²⁰⁸⁰. Вездесъщността на $γ$ , доказана от големия брой уравнения по-долу, прави ирационалността на $γ$ голям отворен въпрос в математиката.

Връзка с гама-функцията

$γ$ е свързана с дигама-функцията Ψ и следователно производната на гама функцията Γ, когато и двете функции се изчисляват с 1. Оттук:

-\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).

Това е равно на границите:

{\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}

По-нататъшните резултати за границите са:

{\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}

Граница, свързана с бета-функцията (изразена спрямо гама-функции) е

{\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln {\big [}\Gamma (k+1){\big ]}.\end{aligned}}

Връзка с дзета-функцията

$γ$ може също да бъде изразена като безкрайна сума, чиито условия включват дзета-функция на Риман, изчислена с положителни цели числа:

{\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}=\ln {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}

Други редове, свързани с дзета-функцията включват:

{\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big [}\zeta (m)-1{\big ]}=\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2n-1}{2n}}-\ln n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]=\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right].\end{aligned}}

Условието на грешката в последното уравнение е бързо намаляваща функция на n. В резултат на това, формулата е подходяща за ефективно изчисление на константата с висока точност.

Други интересни граници, равняващи се на константата на Ойлер – Маскерони са асиметричната граница:

{\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}

и формулата на Вале-Пусен:

\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)

където $\lceil \,\rceil$ са скобите на функцията скобка.

Тясно свързано с това е изразът на рационалните дзета редове. Взимайки отделно първите няколко условия на горните редове, може да се направи оценка за границата на класическия ред:

\gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}},

къдетоζ(s,k) е дзета-функцията на Хурвиц. Сборът в това уравнение включва хармонични числа H_n. Разширявайки условията в дзета-функцията на Хурвиц, се получава:

H_{n}=\ln(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,

където 0 < ε < 1252n⁶.

Интеграли

$γ$ е равна на стойността на число от определени интеграли:

{\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x}{e^{x}}}\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\ln \left(\ln {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\end{aligned}}

където H_x е дробното хармонично число.

Определени интеграли, в които се появява $γ$ , са:

{\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\ln x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}.\end{aligned}}

$γ$ може да се изрази и така:

{\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\ln xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}

Интересно сравнение с двойния интеграл и променливият ред е:

{\begin{aligned}\ln {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\ln xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left[{\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)\right].\end{aligned}}

То показва, че ln 4π може да бъде считано като „променлива Ойлерова константа“.

Двете константи също често се свързва от чифта редове

{\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\ln {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}

където N₁(n) и N₀(n) са броя единици и нули, съответно, в двоично разширение на n.

Разширение на редове

Ойлер показва, че следният безкраен ред приближава $γ$ :

\gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right].

Редът за $γ$ е еквивалентен на реда на Нилсен, открит през 1897 г.:

\gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.

През 1910 г. Джовани Вака открива тясно свързаните редове:

{\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}=\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}

където log₂ е двоичен логаритъм, а ⌊ ⌋ функция скобка.

През 1926 г. Вака намира втори ред:

{\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}

От разширението на логаритъма на гама-функцията на Малмстен – Кумер се получава:

\gamma =\ln \pi -4\ln \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}.

Важно разширение за константата на Ойлер се дължи на Грегорио Фонтана и Лоренцо Маскерони:

\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,

където G_n са коефициенти на Грегъри.

Друго важно разширение с коефициенти на Грегъри, включващо константата на Ойлер е:

{\begin{aligned}H_{n}&=\gamma +\ln n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(k-1)!|G_{k}|}{n(n+1)\cdots (n+k-1)}}=\\&=\gamma +\ln n+{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n(n+1)}}-{\frac {1}{12n(n+1)(n+2)}}-{\frac {19}{120n(n+1)(n+2)(n+3)}}-\cdots &&\end{aligned}}

и е сходимо за всички $\ n=1,2,\ldots$ .

Редове от прости числа:

\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p-1}}\right).

Редове, свързани с квадратни корени:^[4]

\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln {\sqrt {\sum _{k=1}^{n}k}}\,\right)-{\frac {\ln 2}{2}}.

Асимптотични разширения

$γ$ се равнява на следните асимптотични формули (където H_n е n-тото хармонично число):

\gamma \sim H_{n}-\ln n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots

\gamma \sim H_{n}-\ln \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{3}}}+\cdots }\right)

\gamma \sim H_{n}-{\frac {\ln n+\ln(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots

Третата формула се нарича също разширение на Рамануджан.

Експонента

Константата e^γ е важна в теорията на числата. Някои автори обозначават тази величина просто като γ′. Тя е равна на следната граница, където p_n е n-тото просто число:

e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.

Това потвърждава третата от теоремите на Мартенс.^[5] Числената стойност на e^γ е

$e^{\gamma }=1,781072417990197985236504103107179549169645214303430205357665876512841076813588293707574216488418280\ldots$

Други безкрайни произведения, свързани с e^γ, включват:

{\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}

Също така, имаме:

e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots

където n-тата степен е (n + 1)-ият корен на

\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.

Източници

↑ Lagarias, Jeffrey C. Euler's constant: Euler's work and modern developments (PDF) // Bulletin of the American Mathematical Society 50 (4). October 2013. DOI:10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. с. 556.
↑ Carl Anton Bretschneider: Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13 октомври 1835), Journal für die reine und angewandte Mathematik 17, 1837, с. 257 – 285 (in Latin; „ $γ$ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3..)“
↑ Augustus De Morgan: The differential and integral calculus, Baldwin and Craddock, London 1836 – 1842 („ $γ$ “)
↑ mathworld.wolfram.com
↑ mathworld.wolfram.com

[lagarias-1] Lagarias, Jeffrey C. Euler's constant: Euler's work and modern developments (PDF) // Bulletin of the American Mathematical Society 50 (4). October 2013. DOI:10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. с. 556.

[2] Carl Anton Bretschneider: Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13 октомври 1835), Journal für die reine und angewandte Mathematik 17, 1837, с. 257 – 285 (in Latin; „ $γ$ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3..)“

[3] Augustus De Morgan: The differential and integral calculus, Baldwin and Craddock, London 1836 – 1842 („ $γ$ “)

[4] thworld.wolfram.com

[5] thworld.wolfram.com

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]