Площта на синия район конвергира към константата на Ойлер – Маскерони.
Константата на Ойлер – Маскерони (наричана още константа на Ойлер) е математическа константа, появяваща се в математическия анализ и теорията на числата, обикновено обозначавана с гръцката буква гама (γ).
Определя се като сходящата разлика между хармоничен ред и естествен логаритъм:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\ln n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f317452f7f808f2ab7d786ed34cfcb5904bdae9)
Тук ⌊x⌋ представлява функция скобка.
Числената стойност на константата на Ойлер – Маскерони до 50-ия знак след десетичната запетая е:
- 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …
Константата се появява за пръв път през 1734 г. в труд на швейцарския математик Леонард Ойлер, озаглавен De Progressionibus harmonicis observationes. Ойлер използва означенията C и O за константата. През 1790 г. италианският математик Лоренцо Маскерони използва нотациите A и a за константата. Обозначението γ не присъства никъде в писанията на Ойлер или Маскерони и е избрано по-късно, вероятно заради връзката на константата с гама-функцията.[1] Например, немският математик Карл Антон Бретшнайдер използва означението γ през 1835 г.,[2] а Огъстъс Де Морган го използва в учебник, публикуван на части от 1836 до 1842 г.[3]
Константата на Ойлер – Маскерони се проявява в следните места ('*' означава, че този запис съдържа подробно уравнение):
Числото γ все още не е доказано, че е алгебрично или трансцендентно. Всъщност, не се знае дали γ е ирационално. Анализ на верижната дроб показва, че ако γ е рационално, то знаменателят му трябва да е по-голям от 10242080. Вездесъщността на γ, доказана от големия брой уравнения по-долу, прави ирационалността на γ голям отворен въпрос в математиката.
γ е свързана с дигама-функцията Ψ и следователно производната на гама функцията Γ, когато и двете функции се изчисляват с 1. Оттук:

Това е равно на границите:

По-нататъшните резултати за границите са:

Граница, свързана с бета-функцията (изразена спрямо гама-функции) е

γ може също да бъде изразена като безкрайна сума, чиито условия включват дзета-функция на Риман, изчислена с положителни цели числа:

Други редове, свързани с дзета-функцията включват:

Условието на грешката в последното уравнение е бързо намаляваща функция на n. В резултат на това, формулата е подходяща за ефективно изчисление на константата с висока точност.
Други интересни граници, равняващи се на константата на Ойлер – Маскерони са асиметричната граница:

и формулата на Вале-Пусен:

където
са скобите на функцията скобка.
Тясно свързано с това е изразът на рационалните дзета редове. Взимайки отделно първите няколко условия на горните редове, може да се направи оценка за границата на класическия ред:

къдетоζ(s,k) е дзета-функцията на Хурвиц. Сборът в това уравнение включва хармонични числа, Hn. Разширявайки условията в дзета-функцията на Хурвиц, се получава:

където 0 < ε < 1252n6.
γ е равна на стойността на число от определени интеграли:

където Hx е дробното хармонично число.
Определени интеграли, в които се появява γ, са:

γ може да се изрази и така:

Интересно сравнение с двойния интеграл и променливият ред е:

То показва, че ln 4π може да бъде считано като „променлива Ойлерова константа“.
Двете константи също често се свързва от чифта редове

където N1(n) и N0(n) са броя единици и нули, съответно, в двоично разширение на n.
Ойлер показва, че следният безкраен ред приближава γ:

Редът за γ е еквивалентен на реда на Нилсен, открит през 1897 г.:

През 1910 г. Джовани Вака открива тясно свързаните редове:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7dd6d5e1e76a1835921486220bfd68a5482f568)
където log2 е двоичен логаритъм, а ⌊ ⌋ функция скобка.
През 1926 г. той намира втори ред:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b073774ff922ac97913bb641f0867127183824a)
От разширението на логаритъма на гама-функцията на Малмстен-Кумер се получава:

Важно разширение за константата на Ойлер се дължи на Грегорио Фонтана и Лоренцо Маскерони:

където Gn са коефициенти на Грегъри.
Друго важно разширение с коефициенти на Грегъри, включващо константата на Ойлер е:

и конвергира за всички n.
Редове от прости числа:

Редове, свързани с квадратни корени:[4]

γ се равнява на следните асимптотични формули (kydeto Hn е n-тото хармонично число):



Третата формула се нарича също разширение на Рамануджан.
Константата eγ е важна в теорията на числата. Някои автори обозначават тази величина просто като γ′. eγ е равно на следната граница, където pn е n-тото просто число:

Това потвърждава третата от теоремите на Мартенс.[5] Числената стойност на eγ е:
- 1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 …
Други безкрайни произведения, свързани с eγ, включват:

Също така, имаме:
![{\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14204b210e03ab5db53fb496ee8e22a9a254872b)
където n-тата степен е (n + 1)-тият корен на
