Крайно множество

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Крайното множество е множество, което има ограничен брой елементи. С други думи, това е множество, чиито елементи принципно биха могли да бъдат преброени. Например, е крайно множество с пет елемента. Броят на елементите е естествено число и се нарича кардиналност на множеството. Множество, което има безброй елементи, се нарича безкрайно множество. Например, множеството на всички положителни числа е безкрайно – .

Крайните множества са от особено значение в комбинаториката (математическото изследване на броенето). Много от аргументите, касаещи крайни множества, разчитат на принципа на Дирихле, който гласи, че не може да съществува инективна функция от по-голямо крайно множество към по-малко крайно множество.

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Формално, множеството S се нарича крайно, ако съществува биекция

за някакво естествено число n. Числото n е кардиналността на множеството, обозначавана като |S|. Празното множество Ø се счита за крайно, имайки нулева кардиналност.[1][2][3][4]

Ако дадено множество е крайно, неговите елементи могат да се запишат по много начини в числова редица:

.

В комбинаториката, крайно множество с n елементи понякога се нарича n-множество, а подмножество с k елементи се нарича k-подмножество.

Основни свойства[редактиране | редактиране на кода]

Всяко собствено подмножество на крайно множество S е крайно и разполага с по-малко елементи, отколкото S. Следователно, не може да съществува биекция между крайното множество S и собственото подмножество на S.

Всяка инективна функция между две крайни множества с еднаква кардиналност е също и сюрективна функция. Аналогично, всяка сюрекция между две крайни множества с еднаква кардиналост е също и инекция.

Обединението на две крайни множества също е крайно:

Също така:

В по-общ смисъл, обединението на всеки краен брой крайни множества е крайно. Декартовото произведение на крайни множества също е крайно:

Крайно множество с n елемента има 2n различни подмножества.

Всички крайни множества са изброими, но не всички изброими множества са крайни.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Apostol, Tom M.. Mathematical Analysis. 2nd. Menlo Park, Addison-Wesley, 1974. с. 38.
  2. Cohn, Paul Moritz, F.R.S.. Universal Algebra. Dordrecht, D. Reidel, 1981. ISBN 90-277-1254-9. с. 7.
  3. Labarre, Jr., Anthony E.. Intermediate Mathematical Analysis. New York, Holt, Rinehart and Winston, 1968. с. 41.
  4. Rudin, Walter. Principles Of Mathematical Analysis. 3rd. New York, McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X. с. 25.