Крайно поле

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Крайно поле (на английски: finite field) – в мат. крайно поле, или поле на Галоа представлява поле, което съдържа краен брой елементи. Както при всяко поле, крайното поле е набор от елементи, върху които са дефинирани операциите умножение, събиране, изваждане и делене, като в същото време удовлетворява и определени условия.

Като типичен пример за крайно поле може да бъдат посочени целите числа по модул n, където n е просто число. Броят елементи на едно крайно поле се нарича негов ред.

Крайно поле от ред q съществува тогава и само тогава когато ред q е проста степен pk (където p е просто число, а k е положително цяло число).

Всички полета от даден ред са изоморфни (притежават структура, която запазва съответствие едно-към-едно).

В крайно поле от ред pk добавянето на p копия от кой да е елемент дава винаги резултат нула; т.е. характеристиката на полето е p.

В крайно поле от ред p полиномът Xq–X притежава всички q елемента от крайното поле като свои корени.

Ненулевите елементи на крайно поле формират мултипликативна група. Тази група е циклична, откъдето следва, че всички ненулеви елементи може да бъдат изразени като степени на един единствен елемент, наречен примитивен елемент на полето (в общият случай за дадено поле съществуват няколко примитивни елемента).