Кръгова система

Кръговата система е състезателна система в спорта, при която всеки участник в турнира играе равен брой пъти срещу всеки друг участник в един или няколко цикъла.^[1]^[2] Тя е популярна в отборните спортове (футбол, волейбол, хандбал, баскетбол, хокей и др.), особено в национални първенства и квалификационни турнири за световни или континентални първенства. Нарича се още кръгов турнир, най-вече в шахмата, където се използва широко както за отборни, така и за индивидуални състезания. Прилага се и в други спортове: тенис, тенис на маса, билярд, електронни спортове и др.

Ако участниците играят по веднъж помежду си всеки срещу всеки, турнирът е в един цикъл и в този смисъл се нарича единичен; ако играят по два пъти при разменени условия (домакин/гост или бели/черни фигури в шаха), турнирът е в два цикъла и се нарича двоен. Терминът рядко се използва, когато всички участници играят един срещу друг повече от два пъти, и никога не се използва, когато един участник играе с другите неравен брой пъти.^[1] Кръговата система се счита за най-справедлива, но също така изисква по-голям брой мачове за определяне на местата в сравнение с други турнирни системи.

Ред на разиграване

Редът, в който противниците играят един с друг при кръговата система, е от малко значение. Двойките за следващия кръг обаче обикновено се определят чрез жребий. Понякога редът на мачовете се определя, както следва: на всеки от N участници се присвоява номер от 1 до N. Ако броят на участниците е четен, т.е. N = 2K, тогава числата от 1 до K се записват в дясната колона отгоре надолу, а числата K + 1 до N се записват в лявата колона отдолу нагоре. Участниците, чиито номера са написани един срещу друг, играят така в първия кръг. След това продължават по два варианта: кръгов метод и таблици на Бергер.

Кръгов метод (Плъзгаща система)

Кръговият метод е прост алгоритъм за създаване на график за турнир по кръгова система. След като на всички състезатели се присвоят номера, те се сдвояват по описания начин в първия кръг:

Кръг 1. (1 играе с 14, 2 с 13, ... )
1	2	3	4	5	6	7
14	13	12	11	10	9	8

За да се съставят подобни таблици за следващите кръгове, един от състезателите се фиксира, например № 1 се оставя на мястото си, а всички останали номера се преместват кръгово по часовниковата стрелка, стъпка по стъпка. Всъщност и заради тази последна процедура системата за състезание се нарича кръгова. Ако броят на участниците е нечетен, се добавя номер нула и след това за получения набор от числа, чийто брой вече е четен, се извършват горните процедури. Във всеки кръг участникът, който трябва да играе срещу № 0 , е свободен в този кръг и не играе.

Кръг 2. (1 с 13, 14 с 12, ... )
1	14	2	3	4	5	6
13	12	11	10	9	8	7

Кръг 3. (1 с 12, 13 с 11, ... )
1	13	14	2	3	4	5
12	11	10	9	8	7	6

Това се повтаря, докато следващата итерация не доведе до първоначалните сдвоявания::

Кръг 13. (1 с 2, 3 с 14, ... )
1	3	4	5	6	7	8
2	14	13	12	11	10	9

При четен брой конкуренти $N=2K$ , този алгоритъм реализира всяка възможна комбинация от тях (еквивалентно на това, че всички реализирани двойки са различни).

Първо, алгоритъмът очевидно реализира всяка възможна двойка конкуренти, в която може да участва № $1$ (неподвижният конкурент).

След това, за другите двойки, в които не участва № $1$ , разстоянието между конкурентите е $R<K={\frac {N}{2}}$ при извършване на пълното въртене, за да може единият конкурент да достигне позицията, която е имал другият. В дадения пример $N=14$ $(K=7)$ , а № $2$ има разстояние $R=1$ до № $3$ и до № $14$ и има разстояние $R=6$ до № $8$ и до № $9$ ; ( $R<K$ ).

В един кръг, не най-лявата позиция (без $1$ ) може да бъде заета само от състезатели с фиксирано разстояние. В кръг $1$ на примера, на втората позиция състезател $2$ играе срещу $13$ , чието разстояние е $2$ . В кръг $2$ тази позиция се заема от състезатели $14$ и $12$ , също имащи разстояние $2$ и т.н. По подобен начин, следващата позиция ( $3$ срещу $12$ в кръг $1$ , $2$ срещу $11$ в кръг $2$ и т.н.) може да заеме само състезатели с фиксирано разстояние – $R=4$ .

За всяко $K<{\frac {N}{2}}$ тук има точно $N-1$ двойки на разстояние $R$ . Има $N-1$ кръга и всички те реализират една двойка с разстояние $R$ на една и съща позиция. Очевидно е, че тези двойки са по сдвоени различно. Изводът е, че всяка двойка с разстояние $R$ е реализирана.

Това важи за всяко $R$ , следователно всяка възможна двойка е реализирана.

Горните и долните редове или лявата и дясна позиция в двойката могат да означават домакин/гост в спортните игри, бели/черни фигури в шахмата и т.н.; за да се гарантира справедливост, това трябва да се редува в кръговете, тъй като фиксираният състезател № 1 винаги е на първа позиция. По-сложните ограничения за график може да изискват по-сложни алгоритми.^[3]

Този график на кръговата система, известен още като Въртележка–Бергер, във Франция се нарича Плъзгаща система Бергер (на френски: Rutch–Berger), Метод на лентата (на френски: Méthode du ruban) или Метод на полигона (на френски: Méthode du polygone), а в Германия – Плъзгаща система (на немски: Rutschsystem).^[4]

Графикът може да се използва и за „асинхронни“ турнири по кръгова система, където всички игри се провеждат по различно време (например, защото има само едно място за провеждане). Игрите се играят последователно във всеки кръг и от първия до последния кръг. Когато броят на състезателите е четен, този график се представя добре по отношение на показатели за качество и справедливост, като например времето за почивка между игрите. От друга страна, когато броят на състезателите е нечетен, той не се представя толкова добре и друг график е по-добър по отношение на тези показатели.^[5]

Таблици на Бергер

Бергеровите таблици са кръстени на австрийския шахматен майстор Йохан Бергер и се използват широко при планирането на турнири.^[6] Бергер публикува таблиците за сдвояване в двата си сборника „Schach-Jahrbücher“ („Шахматни анали“),^[7]^[8] с надлежното позоваване на техния изобретател Рихард Шуриг.^[9]

График на игрите по кръгове при 14 участници
Кръг 1	1 – 14	2 – 13	3 – 12	4 – 11	5 – 10	6 – 9	7 – 8
Кръг 2	14 – 8	9 – 7	10 – 6	11 – 5	12 – 4	13 – 3	1 – 2
Кръг 3	2 – 14	3 – 1	4 – 13	5 – 12	6 – 11	7 – 10	8 – 9
...	...
Кръг 13	7 – 14	8 – 6	9 – 5	10 – 4	11 – 3	12 – 2	13 – 1

Това представлява график, където играч 14 има фиксирана позиция в първата двойка, а всички останали играчи се редуват обратно на часовниковата стрелка на ${\frac {N}{2}}$ позиции. Този график лесно се създава ръчно. За да се състави за следващият кръг, последният играч, номер 8 в първия кръг, се премества начело на списъка в първата двойка срещу фиксирания играч 14, като измества от там предишния му противник 1 в следващата, втора двойка. Неговото място в последната двойка се заема от съответния играч 9 от предпоследната двойка, която става втора, а двамата играчи от старата втора двойка попълват освободените места в последните две двойки: първият 2 в последната, а вторият 13 в предпоследната. При това се разменят позициите $I-II$ на играчите в двойката. Аритметично това се равнява на добавяне на ${\frac {N}{2}}$ към предишния ред, с изключение на играч $N$ . Когато резултатът от събирането е по-голям от $(N-1)$ , тогава се изважда $(N-1)$ от сумата. Този цикъл се повтаря всеки следващ кръг.

Този график може да бъде представен и като таблица (N − 1, N − 1), изразяваща кръг, в който играчите се срещат помежду си. Например, играч 7 играе срещу играч 11 в кръг 4. Ако играч срещне себе си, това показва почивка или игра срещу играч (N). Всички игри в един кръг образуват диагонал в таблицата.

Диагонална схема
Игра-чи	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1													1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2												1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
3											1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4										1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5									1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
6								1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
7							1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
8						1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
9					1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
10				1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
11			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
12		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
13	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

Графикът на кръговия турнир е представен в следващите таблица и диаграма.

Таблица за графика на кръговия турнир
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1	2
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1	2	3
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1	2	3	4
6	6	7	8	9	10	11	12	13	1	2	3	4	5
7	7	8	9	10	11	12	13	1	2	3	4	5	6
8	8	9	10	11	12	13	1	2	3	4	5	6	7
9	9	10	11	12	13	1	2	3	4	5	6	7	8
10	10	11	12	13	1	2	3	4	5	6	7	8	9
11	11	12	13	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
12	12	13	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
13	13	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Двоен кръгов турнир по таблица на Бергер с 8 играчи на Световното първенство по шахмат 2005 г.
№ по жребий	Участници	Първи цикъл								Втори цикъл								Поб.+ Рав. = Заг. –	Точки	Място
№ по жребий	Участници	1	2	3	4	5	6	7	8	1	2	3	4	5	6	7	8	Поб.+ Рав. = Заг. –	Точки	Място
1	Леко	♔	½	0	1	½	1	½	0	♔	0	½	½	0	½	1	½	+3=7-4	6½	V
2	Морозевич	½	♔	0	½	1	½	½	0	1	♔	0	½	½	½	1	½	+3=8-3	7	IV
3	Свидлер	1	1	♔	1	½	½	½	0	½	1	♔	½	½	½	½	½	+4=9-1	8½	III
4	Полгар	0	½	0		0	½	1	0	½	½	½		0	½	0	½	+1=7-6	4½	VIII
5	Ананд	½	0	½	1	♔	1	0	½	1	½	½	1	♔	½	1	½	+5=7-2	8½	II
6	Адамс	0	½	½	½	0	♔	½	0	½	½	½	½	½	♔	½	½	+0=11-3	5½	VII
7	Касимджанов	½	½	½	0	1	½	♔	0	0	0	½	1	0	½	♔	½	+2=7-5	5½	VI
8	Топалов	1	1	1	1	½	1	1	♔	½	½	½	½	½	½	½	♔	+6=8-0	10	I

Мнемоника

За лесно запомняне на този метод може да се използва следната мнемоника. Започвайки от първия кръг,

                       място = 1  
 ╭────────────────────────────────────────────────────┐
1—ω >>> 2—13 >>> 3—12 >>> 4—11 >>> 5—10 >>> 6—9 >>> 7—8

се изгражда следващият кръг:

ω—8 >>> 9—7 >>> 10—6 >>> 11—5 >>> 12—4 >>> 13—3 >>> 1—2

и след това

2—ω >>> 3—1 >>> 4—13 >>> 5—12 >>> 6—11 >>> 7—10 >>> 8—9
ω—9 >>> ...

Ако броят на играчите е нечетен, играчът на първото място получава почивка. Ако броят е четен, добавеният играч (ω) става противник.

Таблици на Шуриг

Оригинална конструкция на таблици за сдвояване е създал Рихард Шуриг през 1886 г. За четно число $N$ или нечетно число $N-1$ състезатели, Шуриг изгражда таблица с $N/2$ вертикални реда и $N-1$ хоризонтални реда. След това той я попълва, започвайки от горния ляв ъгъл, като повтаря поредицата от числа от 1 до $N-1$ .^[9] Ето примерна таблица за 7 или 8 състезатели:

Кръг 1	1	2	3	4
Кръг 2	5	6	7	1
Кръг 3	2	3	4	5
Кръг 4	6	7	1	2
Кръг 5	3	4	5	6
Кръг 6	7	1	2	3
Кръг 7	4	5	6	7

След това, за да се получат опонентите, се изгражда втора таблица. Всеки хоризонтален ред $x$ се попълва със същите числа като ред $x+1$ в предишната таблица (последният ред се попълва с числата от първия ред в оригиналната таблица), но в обратен ред (отдясно наляво).

Кръг 1	– 1	– 7	– 6	– 5
Кръг 2	– 5	– 4	– 3	– 2
Кръг 3	– 2	– 1	– 7	– 6
Кръг 4	– 6	– 5	– 4	– 3
Кръг 5	– 3	– 2	– 1	– 7
Кръг 6	– 7	– 6	– 5	– 4
Кръг 7	– 4	– 3	– 2	– 1

Чрез обединяване на горните таблици се получава:

Кръг 1	1 – 1	2 – 7	3 – 6	4 – 5
Кръг 2	5 – 5	6 – 4	7 – 3	1 – 2
Кръг 3	2 – 2	3 – 1	4 – 7	5 – 6
Кръг 4	6 – 6	7 – 5	1 – 4	2 – 3
Кръг 5	3 – 3	4 – 2	5 – 1	6 – 7
Кръг 6	7 – 7	1 – 6	2 – 5	3 – 4
Кръг 7	4 – 4	5 – 3	6 – 2	7 – 1

След това първата колона се актуализира: ако броят на състезателите е четен, номерът на играча $N$ се замества последователно за първата и втората позиция, докато ако броят на състезателите е нечетен, се използва празен кръг.

Таблиците за сдвояване са публикувани като приложение относно организацията на провеждането на майсторски турнири. Шуриг не е предоставил доказателство, нито мотивация за своя алгоритъм.^[10]

Параметри и класиране

При четен брой N участници всеки кръг се състои от N/2 игри. При единичен турнир всеки участник трябва да изиграе с другите N–1 игри, което води до N–1 кръга. Общо се играят ${N(N-1)} \over 2$ игри.^[11]
Пример: 8 играчи, 7 кръга от по 4 игри, общо 28 игри.
При нечетен брой N участници всеки кръг се състои от (N–1)/2 игри, защото един участник няма противник. Всеки участник изиграва N–1 игри в N–1 кръга и в един кръг почива, което води до N–1+1=N кръга. Така броят на игрите при единичен турнир е отново ${N(N-1)} \over 2$ .

Пример: 9 играчи, 9 кръга от по 4 игри, общо 36 игри.

При двоен турнир (два цикъла при разменени условия) броят на игрите се удвоява и при всякакъв брой участници е $N(N-1)$ . Например, световното първенство по шахмат през 2005 г., спечелено от българския гросмайстор Веселин Топалов, се провежда като двоен турнир с 8 играчи в два цикъла по 7 кръга и по 4 партии във всеки кръг, общо 7×4×2=56 игри.
Въз основа на резултатите от всяка игра, всеки участник получава определен брой точки. Например, в шаха традиционно се присъжда 1 точка за победа, 0 точки за загуба и 0,5 точки за равенство. Във футбола за победа се присъждат 3 точки, за равенство - 1 точка, а за загуба - 0. Точките, натрупани от участниците през целия турнир, се сумират. Класирането се определя в низходящ ред на точките.
Ако двама или повече участници имат еднакъв брой точки, се използват допълнителни критерии за определяне на класирането им, приложени в определен ред съгласно регламента на турнира. Те могат да включват коефициента на Зонеборн – Бергер, резултатите от директните срещи, сумарните резултати от всички мачове (например головата разлика между отбелязаните и допуснати голове във футбола, хандбала и хокея, точковата разлика в баскетбола, сетовата разлика в тениса, геймовата разлика в тениса и волейбола – този с по-добра разлика получава по-високо място) и т.н. Ако участниците са наравно въз основа на всички критерии, правилата могат да предвиждат плейофи между тях, докато се постигне определен положителен резултат (например допълнителни редовни срещи) или тайбрек (например мач по ускорен шах и блиц след турнир по класически шахмат). Възможно е и поделено класиране, при което участниците с равни места се считат за едновременно завършили на две или повече места в крайното класиране.

Особености

Кръговата система има следните предимства и недостатъци:^[12]

Предимства

Най-високата теоретично постижима справедливост в турнира: тъй като всеки играе срещу всеки друг, крайният резултат се определя от относителната сила на всички двойки.
Класирането на всички участници в турнира се определя обективно и не зависи от случайни победи или загуби. Елементът на късмета се счита за намален в сравнение с елиминационната система, тъй като едно или две лоши представяния не е задължително да разрушат шансовете на състезателя за крайна победа. В отборните спортове за „най-добрия“ отбор в страната обикновено се счита шампионът от висшата лига, определен по кръгова система, а не носителят на купата на страната, чиито турнир обикновено е формат с еднократна елиминация.
Системата е по-добра и за класиране на всички участници, а не само за определяне на победителя. Това е полезно за определяне на крайния ранг на всички състезатели, от най-силния до най-слабия, с цел квалификация за друг етап или състезание, както и за парични награди.
Всеки състезател, независимо дали е играч или отбор, има равни шансове срещу всички останали опоненти, защото няма предварително разпределение на състезателите, което би изключило мач между дадена двойка. Дори най-слабият играч винаги се изправя срещу най-силния.
В големи турнири като Световните първенства на ФИФА или континенталните първенства, първият етап, състоящ се от редица мини кръгови турнири между групи от по 4 отбора, предпазва от възможността отбор да пътува много дълги разстояния, за да бъде елиминиран само след едно лошо представяне в система с директни елиминации. Първите един, два или понякога три отбора в тези групи след това продължават към етап с директни елиминации за останалата част от турнира.
Няма специални условия относно броя на участниците (в швейцарската система броят на участниците трябва да е четен, докато в олимпийската система и системата с двойна елиминация той трябва да е степен на две).
Системата е устойчива на елиминиране на играчи: ако някой бъде елиминиран от турнира, след като е започнал, е достатъчно просто да се премахне от класирането и да се анулират резултатите от предишните му игри; ще бъде все едно изобщо не е участвал. В други системи, в такива случаи, на някои играчи трябва да се присъдят технически победи. Когато обаче резултатите от игрите се анулират, участниците са поставени в неравностойно положение: тези, които победят елиминиран играч, губят точки, докато тези, които загубят от него, не губят нищо и в някои случаи дори могат да подобрят статистиката си. Като алтернатива, техническите победи в останалите игри на елиминиран участник могат да бъдат отчетени, но тогава предимство ще бъде дадено на тези, които не са имали време да се изправят срещу тях. Затова често се използва по-сложен алгоритъм за елиминиране: ако елиминираният участник е изиграл половината или повече от игрите си, на опонентите му се присъждат технически победи в останалите игри; в противен случай резултатите му се анулират.

Недостатъци

Необходим е голям брой мачове (най-високият от всички игрални системи) и следователно е необходимо значително количество време за провеждане на турнир. Броят на мачовете се увеличава квадратично с броя на участниците. Практическото ограничение за кръгова система (в спортове, където броят на мачовете на ден на участник е максимум един или два) е 20–30 участници (за 30 участници са необходими 29 кръга, т.е. почти месец чисто време с един мач на ден, дори ако всички двойки играят едновременно). Следователно, големите кръгови турнири са рядкост.
Ако след някакъв брой кръгове един играч спечели значителна преднина в точките, турнирът става предвидим и губи своята интензивност.
От гледна точка на зрелищността (и следователно източниците на финансиране), турнирът губи от по-динамичните формати, ако участниците се различават значително по сила. Значителен брой мачове/срещи са между противници с очевидно несравнима сила и се оказват предвидими. Също така няма планиран финален мач, освен ако (по стечение на обстоятелствата) двама състезатели не се срещнат в последния мач от турнира, като резултатът от този мач определя шампионата. Забележителен пример за такова събитие е мачът от Световното първенство по футбол през 1950 г. между Уругвай и Бразилия.
С наближаването на края на турнира броят на мачовете, които са частично или напълно без значение, се увеличава – независимо от резултата, крайното класиране на единия или двамата участници не може да се промени съществено.
Възникват допълнителни проблеми, когато кръговата система се използва като квалификационен кръг в рамките на по-голям турнир. Състезател, който вече се е класирал за следващия етап преди последната си игра, може или да не се постарае много (за да спести ресурси за следващата фаза), или дори умишлено да загуби (ако планираният противник за следващата фаза на по-ниско класиран квалификант се възприема като по-лесен от този за по-високо класиран).

На световното първенство по футбол през 1974 г. в последния мач от първа група от първата групова фаза домакинът ФРГ, който е един от претендентите за титлата и си е осигурил класиране за следващия етап, изненадващо губи от значително по-слабия състав на ГДР с 0:1. Така остава втори в групата и във втората групова фаза избягва попадането в една група с фаворита на турнира Нидерландия. Това позволява на ФРГ по-лесно да спечели първо място в другата полуфинална група, което единствено осигурява класиране за финала. ФИФА не разследва случая и не санкционира домакините.

Четири двойки в женския бадминтон на двойки на Олимпийските игри през 2012 г., след като се класират за следващия кръг, са изгонени от състезанието за опит да загубят в кръговата система, за да избегнат сънароднички като противници в следващия етап при по-добро класиране.^[13] Кръговата система е била нововъведение на тази олимпиада и тези потенциални проблеми са били известни преди турнира. Преди следващите Олимпийски игрипромени са направени промени, за да се предотврати повторение на тези събития.

Това създава проблема с уреждането на мачове: за сходно силни участници може да е по-изгодно да се съгласят на равенство, отколкото да играят за победа, рискувайки загуба и загуба на точки. Вероятността от уреждане на мачове се увеличава, ако мачът е без значение за един от участниците. Следователно, в спортовете, в които се фиксират равенства, трябва да се използват специални тактики, за да се намали интересът на участниците към тях.^[14] Един от вариантите е да се забранят равенствата. В случай на равенство в основната игра се играе допълнителна игра в същия кръг по специални правила, които предотвратяват равенство. В шаха това може да бъде блиц игра по системата „6 минути за белите, 5 минути за черните, в случай на равенство черните се обявяват за победител“; в отборните спортове това може да бъде игра „до първи гол/шайба“ или изпълнение на дузпи, докато се постигне различен резултат. Друг вариант е да се ограничат равенствата (например „Софийските правила“ в шаха^[15]). Възможно е да се промени системата за точкуване, така че победата да струва много повече от равенството (например, да се присъждат 3 точки за победа, 1 за равенство и 0 за загуба), но такива системи трябва да бъдат добре координирани, за да се избегнат нежелани странични ефекти.
При сравними силни страни на играчите възниква проблемът с нетранзитивността: могат да възникнат затворени вериги от играчи, при които всеки играч печели срещу следващия, а последният играч печели срещу първия, в цикъл. В такива случаи, ако броят на точките, спечелени в турнира, е равен, не е възможно да се разпределят местата въз основа на резултатите от лична среща (най-логичният вариант е, ако двама играчи са отбелязали равен брой точки, този, който е победил другия, е по-силен) и е необходимо да се въведат допълнителни критерии, да се проведат допълнителни игри или да се споделят места.

Приложение

Кръговата система се използва в национални и международни състезания по отборни и индивидуални спортове. Широко е разпространена при отборни спортове с голям брой състезателни мачове на сезон.

Първенствата по отборни спортове, като футбол и баскетбол, често включват турнири с два кръга, където всеки отбор играе срещу всеки друг на свой и негов терен. За да се осигури по-равномерно и справедливо натоварване на отборите, често се практикува редуване на домакински и гостуващи мачове.^[11] Тази система се използва и при квалификации за големи турнири като Световното първенство по футбол на ФИФА и континенталните турнири (напр. Европейското първенство по футбол на УЕФА, Златната купа на КОНКАКАФ, Азиатската купа на АФК, Копа Америка на КОНМЕБОЛ и Купата на африканските нации на КАФ).

Често етапите от групите в рамките на по-широк турнир се провеждат на кръгова система. Примери за единична система за провеждане на мачове включват Световното първенство на ФИФА, Европейското първенство на УЕФА и Лига Европа на УЕФА (2004 – 2009) във футбола, съюза по ръгби Супер ръгби в Южното полукълбо по време на миналите му версии като Супер 12 и Супер 14 (но не и в по-късните му формати с 15 и 18 отбора), Световното първенство по крикет, заедно с Индийската висша лига, големия турнир по крикет Twenty-20 и много университетски конференции по американски футбол.

Двойна кръгова система за провеждане на мачове се прилага в груповите етапи на клубните състезания на УЕФА и Копа Либертадорес, както и в повечето баскетболни лиги извън Съединените щати, включително редовния сезон на Евролигата (както и бившата ѝ фаза Топ 16).

Кръгова система се използва и в турнири по шахмат, бридж, шашки, го, хокей на лед, крикет, кърлинг и скрабъл. Световното първенство по шах през 2005 г. и 2007 г. се провежда като двоен кръгов турнир с 8 играчи, където всеки шахматист играе срещу всеки друг веднъж с белите и веднъж с черните фигури (виж таблицата на Бергер по-горе). В този формат са проведени няколко големи турнира на Международния съвет по крикет, включително шампионата за 2025 г.^[16] Турнирите по тенис, завършващи сезона, също използват кръговия формат за провеждане на мачове преди полуфиналите.

Съществуват и по-екстремни примери. Първенството на Южна Корея по бейзбол се играе по 16-кратна кръгова система, като всичките 10 отбора играят помежду си 16 пъти и общо 144 мача на отбор. Зимната бейзболна лига LIDOM в Доминиканската република играе по 18-кратна кръгова система като полуфинал между четири класирани отбора, общо 54 мача за всеки отбор.

Класирането в груповите турнири обикновено се определя по брой точки от победи и равенства, като се използват различни критерии за тайбрек.

Примери

Квалификаци за световното първенство по футбол 1962 г. – II група
Отбор	Фр	Бг	Фн	М	П	З	Точки
Франция	–	3:0	5:1	4	3	1	6
България	1:0	–	3:1	4	3	1	6
Финландия	1:2	0:2	–	4	0	4	0

Двойна кръгова система с 3 отбора при разменено гостуване, 6 мача и 2 точки за победа.
България и Франция завършват с равни точки и съгласно регламента играят допълнителен плейоф на неутрален терен, за да определят финалиста за Мондиал`62.

16 декември 1961

България	1 – 0	Франция
Якимов 47'	Доклад

Сан Сиро, Милано
34 740 зрители
Съдия:

Ло Бело

Квалификаци за световното първенство по футбол 1966 г. – I група
Отбор	Бел	Бг	Из	М	П	З	Точки
Белгия	–	5:0	1:0	4	3	1	6
България	3:0	–	4:0	4	3	1	6
Израел	0:5	1:2	–	4	0	4	0

Двойна кръгова система с 3 отбора при разменено гостуване, 6 мача и 2 точки за победа.
България и Белгия завършват с равни точки и съгласно регламента играят допълнителен плейоф на неутрален терен, за да излъчат финалиста за Мондиал`66.

29 декември 1965

България	2 – 1	Белгия
Аспарухов 18', 19'	Доклад	Гаганелов 75' (авт.)

Стадио Комунале, Флоренция, Италия
11 659 зрители
Съдия:

Антонио Сбардела

Квалификаци за световното първенство по футбол 1974 г. – VI група
Отбор	Б	П	СИ	К	М	П	Р	З	ГР	+/-	Точки
България	–	2:1	3:0	2:0	6	4	2	0	13:3	+10	10
Португалия	2:2	–	1:1	4:0	6	2	3	1	10:6	+4	7
Северна Ирландия	0:0	1:1	–	3:0	6	1	3	2	5:6	-1	5
Кипър	0:4	0:1	1:0	–	6	1	0	5	1:14	−13	2

Двойна кръгова система с 4 отбора при разменено гостуване, 12 мача, 2 точки за победа и една за равенство. Класирането е по точки и голова разлика.

Квалификаци за световното първенство по футбол 1986 г. – IV група
Отбор	Фр	Бг	ГДР	Юг	Люк	М	П	Р	З	ГР	+/-	Точки
Франция	–	1:0	2:0	2:0	6:0	8	5	1	2	15:4	+11	11
България	2:0	–	1:0	2:1	4:0	8	5	1	2	13:5	+8	11
ГДР	2:0	2:1	–	2:3	3:1	8	5	0	3	7:8	-1	10
Югославия	0:0	0:0	1:2	–	1:0	8	3	2	3	7:8	-1	8
Люксембург	0:4	1:3	0:5	0:1	–	8	0	0	8	2:27	-25	0

Двойна кръгова система с 5 отбора при разменено гостуване, 20 мача и 2 точки за победа. Класирането е по точки и голова разлика.

Световно първенство по футбол 1994 г. – група D
Отбор	Ниг	Бг	Арж	Гър	М	П	З	ВГ	ДГ	ГР	Т
Нигерия	–	3:0	1:2	2:0	3	2	1	6	2	+4	6
България	0:3	–	2:0	4:0	3	2	1	6	3	+3	6
Аржентина	2:1	0:2	–	4:0	3	2	1	6	3	+3	6
Гърция	0:2	0:4	0:4	–	3	0	3	0	10	-10	0

Единична кръгова система с 4 обора, 6 мача и 3 точки за победа. Класирането е по точки, голова разлика и резултат в директния двубой.

Вижте също

Външни препратки

Таблици за реда на игра при кръгова система за 3 – 16 участници

Източници и бележки

↑ ^а ^б Webster's Third New International Dictionary of the English Language, Unabridged (1971, G. & C. Merriam Co), p.1980.
↑ Orcutt, William Dana. Official Lawn Tennis Bulletin. Т. 2. New York, The Editors, 1895. p. 1, 3. (на английски)
↑ Dinitz, Jeff. Designing Schedules for Leagues and Tournaments // Graph Theory Day 48, November 13, 2004. Архивиран от оригинала на February 23, 2022.
↑ Le livre de l'arbitre : édition 2008. Fédération Française des Échecs, 2008. ISBN 978-2-915853-01-8. p. 56. Архивиран от оригинала на 19 януари 2013. (на френски)
↑ Suksompong, Warut. Scheduling asynchronous round-robin tournaments // Operations Research Letters 44 (1). 2016. DOI:10.1016/j.orl.2015.12.008. p. 96–100. (на английски)
↑ C. General Rules and Technical Recommendations for Tournaments / 05. General Regulations for Competitions / General Regulations for Competitions. Annex 1: Details of Berger Table / // FIDE Handbook. FIDE. (съдържание на страница)
↑ Berger, Johann. Schach-Jahrbuch für 1892/93. Leipzig, 1893. OCLC 651254787. S. 26–31. (на немски)
↑ Berger, Johann. Schach-Jahrbuch für 1899/1900: Fortsetzung des Schach-Jahrbuches für 1892/93. Leipzig, 1899. OCLC 651254792. S. 21–27. (на немски)
↑ ^а ^б Schurig, Richard. Die Paarung der Theilnehmer eines Turniers // Deutsche Schachzeitung; Deutsche Schachzeitung at HathiTrust Digital Library 41. OCLC 556959107. S. 134–137. (на немски)
↑ Ahrens, Wilhelm. XIV Anordnungs Probleme, § 1 Anordnungen im Kreise, Aufgabe 2 // Mathematische Unterhaltungen und Spiele. Leipzig, B. G. Teubner, 1901. ark:/13960/t2w37mv93. S. 259–272. (на немски)
↑ ^а ^б В. Григоревич – Организация и судейство соревнований по волейболу, Методическое пособие. Гродненский Университет, 2008 (на руски).
↑ Вячеслав Быков – «Круговая система более справедлива и объективна», 16 мая 2007 Архив на оригинала от 2007-06-24 в Wayback Machine. Препратка от 1 октомври 2008 (на руски).
↑ UC Berkeley Quiz Bowl: How To Make Schedules
↑ ЦСКА сыграет против своих защитника и начальника// чемпионат России по футболу Газета «Коммерсантъ» № 145(3229) от 06.08.2005. Препратка от 1 октомври 2008 (на руски).
↑ Играчите нямат право да предлагат реми директно на противниците си по споразумение. Могат само да заявят на съдията наличност на някой от трите случая за присъждане на реми по правилник.
↑ Will India play ICC Champions Trophy in Pakistan: Captain Rohit Sharma breaks silence // 2024-11-10. Посетен на 2024-11-10. (на английски)

[Webster-1] а ^б Webster's Third New International Dictionary of the English Language, Unabridged (1971, G. & C. Merriam Co), p.1980.

[2] Orcutt, William Dana. Official Lawn Tennis Bulletin. Т. 2. New York, The Editors, 1895. p. 1, 3. (на английски)

[3] Dinitz, Jeff. Designing Schedules for Leagues and Tournaments // Graph Theory Day 48, November 13, 2004. Архивиран от оригинала на February 23, 2022.

[4] Le livre de l'arbitre : édition 2008. Fédération Française des Échecs, 2008. ISBN 978-2-915853-01-8. p. 56. Архивиран от оригинала на 19 януари 2013. (на френски)

[5] Suksompong, Warut. Scheduling asynchronous round-robin tournaments // Operations Research Letters 44 (1). 2016. DOI:10.1016/j.orl.2015.12.008. p. 96–100. (на английски)

[FIDEHandbookContents-6] C. General Rules and Technical Recommendations for Tournaments / 05. General Regulations for Competitions / General Regulations for Competitions. Annex 1: Details of Berger Table / // FIDE Handbook. FIDE. (съдържание на страница)

[7] Berger, Johann. Schach-Jahrbuch für 1892/93. Leipzig, 1893. OCLC 651254787. S. 26–31. (на немски)

[8] Berger, Johann. Schach-Jahrbuch für 1899/1900: Fortsetzung des Schach-Jahrbuches für 1892/93. Leipzig, 1899. OCLC 651254792. S. 21–27. (на немски)

[SchurigTables-9] а ^б Schurig, Richard. Die Paarung der Theilnehmer eines Turniers // Deutsche Schachzeitung; Deutsche Schachzeitung at HathiTrust Digital Library 41. OCLC 556959107. S. 134–137. (на немски)

[10] Ahrens, Wilhelm. XIV Anordnungs Probleme, § 1 Anordnungen im Kreise, Aufgabe 2 // Mathematische Unterhaltungen und Spiele. Leipzig, B. G. Teubner, 1901. ark:/13960/t2w37mv93. S. 259–272. (на немски)

[Ref12-11] а ^б В. Григоревич – Организация и судейство соревнований по волейболу, Методическое пособие. Гродненский Университет, 2008 (на руски).

[Ref10-12] Вячеслав Быков – «Круговая система более справедлива и объективна», 16 мая 2007 Архив на оригинала от 2007-06-24 в Wayback Machine. Препратка от 1 октомври 2008 (на руски).

[13] UC Berkeley Quiz Bowl: How To Make Schedules

[Ref13-14] ЦСКА сыграет против своих защитника и начальника// чемпионат России по футболу Газета «Коммерсантъ» № 145(3229) от 06.08.2005. Препратка от 1 октомври 2008 (на руски).

[Софийски_правила-15] Играчите нямат право да предлагат реми директно на противниците си по споразумение. Могат само да заявят на съдията наличност на някой от трите случая за присъждане на реми по правилник.

[16] Will India play ICC Champions Trophy in Pakistan: Captain Rohit Sharma breaks silence // 2024-11-10. Посетен на 2024-11-10. (на английски)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]