Кубичен корен

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Графика на y = 3x. Графиката е симетрична по отношение на началото си, все едно е нечетна функция. При x = 0 графиката има вертикална допирателна.

В математиката, кубичен корен от число x е такова число a, че a3 = x. Всички реални числа (освен нула) имат точно един реален кубичен корен и два комплексно спрегнати кубични корена. Всички ненулеви комплексни числа имат три различни комплексни кубични корена. Например реалният кубичен корен на 38 е 2, защото 23 = 8, докато другите кубични корени на 8 са −1 + 3i и −1 − 3i.

Операцията за кубичен корен не е асоциативна или дистрибутивна при събиране и изваждане. Все пак, тя е асоциативна при степенуване и дистрибутивна при умножение и деление, ако се взимат предвид само реални числа, но не винаги, ако се взимат предвид комплексни числа: например, кубът на всеки кубичен корен от 8 е 8, но трите кубични корена на 83 са 8, −4 + 4i3 и −4 − 4i3.

История[редактиране | редактиране на кода]

Изчисляването на кубичния корен може да бъде проследено до вавилонските математици от 1800 г. пр. Хр.[1] През IV век пр. Хр. Платон поставя проблема за удвояването на куба, който изисква построения с линийка и пергел на ръба на куб с двойно по-голям обем от даден куб. Това изисква построяването на невъзможната дължина 32.

Метод за намиране на кубични корени присъства в „Математика в девет книги“, китайски математически текст съставен около II век пр. Хр.[2] Гръцкият математик Херон измисля метод за изчисляване на кубични корени през I век сл. Хр.[3] През 499 г. Ариабхата, математик и астроном от класическата ера на индийската математика, дава метод за намиране на кубичния корен на числа с много цифри в Ариабхатия.[4]

Формално определение[редактиране | редактиране на кода]

Кубичните корени на число x са числата y, които удовлетворяват равенството

Реални числа[редактиране | редактиране на кода]

За всяко реално число y, съществува едно реално число x такова, че x3 = y. Кубичната функция е нарастваща, така че не дава същия резултат за две различни числа, а и покрива всички реални числа. С други думи, тя е биекция. Следователно, може да се определи обратна функция. При реалните числа, може да се определи един-единствен кубичен корен за всички реални числа. Ако се използва това определение, кубичният корен на отрицателно число е отрицателно число.

Трите кубични корена на 1.

Ако x и y са комплексни, то тогава съществуват три решения (ако x не е нула) и така x има три кубични корена. Реалното число има един реален кубичен корен и два допълнителни кубични корена, образуващи комплексно спрегната двойка.

Например, кубичните корени на числото 1 са:

Последните два от тези корени водят до връзка между всички корени на кое да е реално или комплексно число.

Комплексни числа[редактиране | редактиране на кода]

Риманова повърхнина на кубичен корен.

За комплексни числа, главният кубичен корен обикновено се определя като кубичния корен с най-голяма реална част или чийто аргумент има най-малка абсолютна стойност. Той е свързан с главната стойност на естествения логаритъм чрез формулата

Ако се напише x като

където r е неотрицателно реално число и θ лежи в тази област

,

то главният комплексен кубичен корен е

Това означава, че в полярни координати се взема кубичния корен на радиуса и полярният ъгъл се дели на три за да се определи кубичния корен. По тази дефиниция, главният кубичен корен на отрицателно число е комплексно число и, например, 3−8 няма да е −2, а 1 + i3.

Това ограничение лесно може да бъде избегнато, ако се напише първоначалното комплексно число x в три еквивалентни форми или по-конкретно

Главните комплексни кубични корени на тези три форми са съответно

Освен при x = 0, тези три комплексни числа са различни, въпреки че трите образа на x са еднакви. Например, 3−8 може да бъде изчислено като −2, 1 + i3, или 1 − i3.

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Saggs, H. W. F.. Civilization Before Greece and Rome. Yale University Press, 1989. ISBN 978-0-300-05031-8. с. 227.
  2. Crossley, John, W.-C. Lun, Anthony. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press, 1999. ISBN 978-0-19-853936-0. с. 213.
  3. Smyly, J. Gilbart. Heron's Formula for Cube Root. // Hermathena 19 (42). Trinity College Dublin, 1920. с. 64 – 67.
  4. Aryabhatiya на марати: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.62, ISBN 978-81-7434-480-9
Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Cube root“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода и списъка на съавторите.