Линейно пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката линейно пространство (или векторно пространство) е съвкупност от обекти (наричани вектори), които могат да бъдат умножавани с число или събирани. По-точно линейно пространство е множество, за което са дефинирани две операции, наричани (векторно) събиране и умножение с число, и които изпълняват няколко естествени аксиоми, описани по-долу. Линейните пространства са основният обект, с който се занимава линейната алгебра и имат широко приложение в математиката, природните и инженерните науки.

Най-познатите линейни пространства са двумерните и тримерните евклидови пространства. Векторите в тези пространства са наредени двойки или тройки от реални числа и често се представят с помощта на насочени отсечки. Тези вектори могат да бъдат събирани, използвайки правилото на успоредника, или умножавани с реални числа. Поведението им под действието на горните операции дава добър интуитивен модел за поведението на вектори в по-общи линейни пространства, които не е нужно да имат геометрична интерпретация. Например множеството на полиномите с реални коефициенти образува линейно пространство.

Формална дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

Нека F е поле, чиито елементи ще наричаме числа или скалари (например реалните или комплексните числа). Нека също V е непразно множество, чиито елементи ще наричаме вектори. Нека във V са въведени операциите:

  • събиране на вектори, която на всеки два вектора v и w съпоставя вектор, който се означава с v + w и
  • умножение на вектор с число, която на вектора v и числото λ съпоставя вектор, който се означава с λv.

Казваме, че V е линейно пространство над полето F, ако за така дефинираните операции са изпълнени следните аксиоми:

  1. Събирането е асоциативно:

    ако u, v, wV, то u + (v + w) = (u + v) + w.

  2. Събирането е комутативно:

    ако v, wV, то v + w = w + v.

  3. Съществува вектор 0V, за който:

    v + 0 = v за всеки вектор v.

    Този елемент се нарича нулев вектор и може да се докаже, че е единствен.
  4. За всеки вектор v съществува вектор w, за който е изпълнено:

    За всяко v + w = 0.

    w се нарича противоположен на v, отбелязва се с -v и също може да се докаже, че е единствен.
  5. За всеки два вектора v и w и за всяко число λ е изпълнено:

    λ (v + w) = λ v + λ w.

  6. За всеки вектор v и всеки две числа λ и μ е изпълнено:

    (λ + μ) v = λ v + μ v.

  7. За всеки вектор v и всеки две числа λ и μ е изпълнено:

    λ (μ v) = (λμ) v.

  8. За всеки вектор v е изплълнено:

    1 v = v, където с 1 означаваме единичния елемент на F.

Формално тези аксиоми съвпадат с аксиомите за модул, така че линейно пространство може да се дефинира като модул над поле. Следователно векторните пространства са пример за модули.

Елементарни свойства[редактиране | редактиране на кода]

Следните свойства следват лесно от аксиомите за линейно пространство:

  • Нулевият вектор 0V е единствен:

    Ако за 01V е изпълнено 01 + v = v за всеки вектор vV, то 01 = 0.

  • Резултатът от умножаване на нулевия вектор с число е нулевият вектор:

    За всяко λF имаме λ 0 = 0.

  • При умножение на вектор с числото 0 се получава нулевият вектор:

    За всеки vV е вярно 0 v = 0.

  • В никой друг случай при умножение на вектор с число не се получава нулевият вектор:

    λ v = 0 тогава и само тогава, когато λ = 0 или v = 0.

  • Противоположният вектор −v на вектора v е единствен:

    Ако w1 и w2 са противоположни на v, тоест v + w1 = 0 и v + w2 = 0, то w1 = w2. Противоположният вектор се означава с −v. С негова помощ се дефинира разлика на два вектора: w − vw + (−v).

  • При умножение на вектор с -1 се получава противоположният му вектор:

    За всеки vV е изпълнено (−1) v = −v.

  • Операцията отрицание комутира:

    За всяко число λF и всеки вектор vV е изпълнено (−λ) v = λ (−v) = − (λ v).

Примери[редактиране | редактиране на кода]

Най-простият пример за линейно пространство над произволно поле е пространството, съдържащо само нулевия елемент – {0}. Също така полето F е линейно пространство над себе си – лесно се проверява, че аксиомите са изпълнени за стандартните действия събиране и умножение (например множеството на реалните числа е линейно пространство над себе си).

Един от най-важните примери за линейно пространство е координатното пространство, дефинирано по следния начин: Нека F е поле, а n е естествено число. Множеството от наредените n-торки числа от F образува линейно пространство и се отбелязва с Fn, ако дефинираме операциите събиране и умножение с число по следния начин: Нека

са елементи на Fn, където xi и yi са числа от F. Нека още λ∈ F. Дефинираме

,

Тези операции изпълняват горните аксиоми, като нулевият елемент е

а противоположният на x е

.

Най-голямо приложение намират реалното координтатно пространство Rn (особено R2 и R3) и комплексното координтатно пространство Cn.

Друг пример е множеството на всички полиноми на една променлива с реални коефициенти. Там събирането и умножението по число са дефинирани по стандартния начин, а нулевият елемент е полиномът P(x)≡0. Множеството на всички функции, дефинирани над фиксирано множество и приемащи стойности в множеството на реалните числа, е линейно пространство над полето на реалните числа.

Подпространство и базис[редактиране | редактиране на кода]

При дадено линейно пространство V непразно подмножество W на V се нарича линейно подпространство, ако е затворено относно операциите събиране и умножение с число (тоест сумата на два вектора от W и произведението на вектор от W с число са елементи на W). Подпространствата на V са самите линейни пространства (над същото поле). Сечението на всички подпространства, съдържащи дадено множество вектори, се нарича линейна обвивка на това множество. Ако при премахването на който и да е вектор от множество от вектори неговата линейна обвивка се променя, казваме, че векторите в това множество са линейно независими. Линейно независимо множество от вектори, чиято обвивка е цялото линейно пространство, се нарича базис. Например в R3 множеството

е линейно подпространство на R3. Множеството е линейно независимо, докато не е, защото линейната обвивка и на двете множества е множеството A. Един възможен базис на R3 е множеството .

Всички базиси на едно линейно пространство са равномощни. Ако линейното пространство има краен базис, то се нарича крайномерно, а броят на елементите в базиса се нарича размерност на пространството. Така например R3 е крайномерно пространство с размерност 3. По-общо всички координатни пространства Fn са крайномерни с размерност n. Когато базиса има безкраен брой елементи, пространството се нарича безкрайномерно. Такива например са пространствата на полиноми и функции, дефинирани по-горе. Пример за базис на пространството от полиниоми на една променлива е множеството , което е безкрайно.

Базисът дава възможност всеки вектор да се изрази чрез наредена n-торка числа, наричана координати на вектора, спрямо фиксирания базис. Например спрямо базиса , вектора има за координати числата 1,1 и 3, защото

.

Линейни изображения[редактиране | редактиране на кода]

Линейно изображение е изображение, между две (може и съвпадащи) линейни пространства над едно и също поле, което запазва тяхната структура. По-точно нека V и W са линейни пространства над полето F, а e функция. Казваме, че l е линейно изображение, ако за произволни вектори u,v ∈ V и произволно число λ ∈ F е изпълнено:

и
.

Множеството на всички линейни изображения от V в W също е линейно пространство над F. Когато са фиксирани базиси над V и W, линейните изображения могат да се изразят с помощта на матрици.

Линейно изображение, което е едновременно и биекция, се нарича линеен изоморфизъм. Ако съществува изоморфизъм между две линейни пространства, те се наричат изоморфни; от гледна точка на линейната алгебра двете пространства са еквивалентни.

Допълнителни структури[редактиране | редактиране на кода]

Често се изучават линейни пространства, които притежават допълнителни структури. Целта им обикновено е обобщаването на стандартни понятия от геометрията.

Литература[редактиране | редактиране на кода]

  • Пламен Сидеров. Записки по алгебра; Линейна алгебра, изд. Веди, София, 2001.
  • Кирил Дочев, Димитър Димитров. Линейна алгебра, изд. Наука и Изкуство, София, 1973.

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]