Логаритъм

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Графики на логаритмични функции с три често използвани основи – особените точки logb b = 1 са означени с пунктирни линии, а и трите криви се пресичат в in logb 1 = 0
Графика на логаритмична крива, пресичаща абсцисата при x= 1 и клоняща към минус безкрайност при ординатата.
Графиката на логаритъм с основа 2 пресича абсцисата в x = 1 и преминава през точките (2, 1), (4, 2) и (8, 3) (съответстваща на log2(8) = 3 и 23 = 8); кривата се доближава асимптотично до ординатата без да я пресича

Логаритъмът е математическа функция, обратна на степенуването. Това означава, че логаритъмът на дадено число x е степента, на която друго постоянно число, основата b, трябва да бъде повдигната, за да се получи това число x.

В най-простия случай логаритъмът е броят повторени умножения с един и същ коефициент, например, тъй като 1000 = 10 × 10 × 10 = 103, логаритъмът с основа 10 на 1000 е 3. Логаритъмът от x с основа b се записва като logb (x) (или без скоби, като logbx; и дори без уточняване на основата, като log x, когато не може да стане объркване).

По-общо, степенуването позволява всяко положително реално число да бъде повдигнато на всяка реална степен, като резултатът е винаги положителен, така че логаритъмът на всеки две положителни реални числа b и x, където b е различно от 1, е винаги уникално реално число y. В явен вид връзката между степенуване и логаритъм е:

тогава и само тогава, когато

Например, log2 64 = 6, тъй като 64 = 26.

Логаритъмът с основа 10 (b = 10) се нарича десетичен логаритъм и се използва често в науката и техниката. Естественият логаритъм има за основа неперовото число e (b ≈ 2.718) и има широко приложение в математиката и физиката, заради своята проста производна. За тези две основи се използват и специални означения – ln вместо loge и lg вместо log10. Двоичният логаритъм има основа 2 (b = 2) и е често използван в компютърните науки.

Логаритмите започват да се използват в началото на 17 век от Джон Непер като средство за опростяване на някои изчисления. Те бързо намират широко приложение в науката и техниката за изчисления със сметачна линия или предварително подготвени логаритмични таблици. При тях се използва едно важно свойство на логаритмите – сумата от логаритмите на две числа е равна на логаритъм от тяхното произведение: loga(xy) = loga(x) + loga(y). Съвременното означение на логаритмите е въведено през 18 век от Леонард Ойлер, който открива и тяхната връзка със степенната функция.

Аналогично на логаритъма на реалните числа, комплексният логаритъм е обратна функция на степенната функция при комплексните числа. Друг вариант на логаритмичната функция е дискретният логаритъм, използван в криптографията.

Логаритмичните скали се използват за по-компакно изобразяване на величини, които варират в широки граници. Например, децибелът е логаритмична мярка, измерваща отношения (електрически потенциали, мощности или звуково налягане). В химията водородният показател (pH) е логаритмична мярка за киселинността на воден разтвор. Логаритмите се срещат често в различни научни формули, както и в измервания за сложността на алгоритми и при фракталите. С тях се описват музикалните интервали, участват в оценки за броя на простите числа или в някои модели на психофизиката.

Обща информация[редактиране | редактиране на кода]

Събирането, умножението и степенуването са трите основни аритметични действия. Събирането, най-простото от тях, е обратимо чрез изваждане. Така събирането на 2 и 3 дава 5, като процесът на добавяне на 2 е обратим чрез изваждане на 2: 5 - 2 = 3. Умножението, средното по сложност действие, е обратимо чрез деление – удвояването на x (умножението на x с 2), е обратимо чрез деление на 2. Например, умножението е обратимо чрез делението . Смисълът на логаритмите е подобно обръщане на основно аритметично действие – повдигането на число на дадена степен, наричано степенуване. Например, повдигането на 2 на трета степен дава 8, тъй като 8 е произведението на три множителя 2:

Логаритъмът с основа 2 на 8 е 3, което отразява факта, че 2 трябва да се повдигне на трета степен, за да се получи 8.

Степенуване[редактиране | редактиране на кода]

Действието степенуване е ключово за разбирането на логаритмите. Повдигането на b на n-та степен, където n е естествено число, се извършва чрез умножаването на n множителя, равни на b. n-тата степен на b се записва като bn, при което

Степенуването може да бъде разширено до by, където b е положително число, а степента y е произволно реално число.[1] Например,b−1 е реципрочната стойност на b, 1/b. Повдигането на b на степен 1/2 дава квадратен корен от b. По-общо, повдигането на b на рационална степен p/q, където p и q са цели числа, се получава от

q-тия корен на bp. Накрая, всяко ирационално число y може да се апроксимира с произволна точност с рационално число. Това може да се използва за изчисляването на y-тата степен на b: например , а може да се изчисли с нарастваща точност чрез .

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Логаритъмът на положително реално число x при основа b е степента, на която трябва да се повдигне b, за да се получи x. С други думи, логаритъмът на x при основа b е решението y на уравнението[2]

Логаритъмът се изписва като „logb x“ (произнасяно като „логаритъм от x при основа b“).

В уравнението y = logb x стойността y е отговорът на въпроса „На коя степен трябва да се повдигне b, за да се получи x?“.

Примери[редактиране | редактиране на кода]

  • log2 16 = 4 , тъй като 24 = 2 ×2 × 2 × 2 = 16.
  • Логаритмите може да са и отрицателни: , тъй като
  • log10150 е приблизително 2.176, което се намира между 2 и 3, както 150 се намира между 102 = 100 и 103 = 1000.
  • За всяка основа b, logb b = 1 и logb 1 = 0, тъй като b1 = b и b0 = 1.

Логаритмични тъждества[редактиране | редактиране на кода]

Няколко важни формули, понякога наричани логаритмични тъждества или логаритмични равенства, свързват логаритмите един с друг.

Произведение, частно, степен и корен[редактиране | редактиране на кода]

Логаритъмът на произведение е равен на сбора на логаритмите на множителите, а логаритъмът на частното на две числа е разликата от техните логаритми. Логаритъмът на p-тата степен на дадено число е p пъти логаритъма на самото число, а логаритъмът на p-тия корен е равен на логаритъма на числото, разделен на p. Следната таблица описва тези тъждества с примери. Всяко от тях може да се изведе чрез субституция на лявата страна в определенията за логаритъм ири .

Формула[1] Пример
Произведение
Частно
Степен
Корен

Смяна на основата[редактиране | редактиране на кода]

Логаритъмът logbx може да се получи от логаритмите на x и b при произволна основа k чрез следната формула:[1]

Изхождайки от дефиниционното равенство

можем да приложим logk върху двете страни на уравнението, за да получим

.

Решавайки за се получава:

,

което показва, че преходният коефициент от дадена -стойност към нейната съответна -стойност е

Повечето научни калкулатори могат да изчисляват логаритми с основа 10 и e.[3] Логаритмите с произволна основа b могат да се изчислят с някой от тези два логаритъма въз основа на горната формула:

При дадено число x и неговия логаритъм logbx при неизвестна основа b, основата се получава от:

което се вижда от повдигането на дефиниционното равенство на степен

Конкретни основи[редактиране | редактиране на кода]

Графики на логаритми с основи 0.5, 2 и e

Измежду всички възможни основи на логаритмите три се използват особено често – това са b = 10, b = e (ирационалната математическа константа ≈ 2.71828) и b = 2. Логаритъмът с основа e (естествен логаритъм) се използва широко в математическия анализ, заради неговите особени аналитични свойства. В същото време логаритмите с основа 10 (десетичен логаритъм) са лесни за използване при ръчни изчисления в обичайната десетична бройна система:[4]

Така log10x е свързан с броя цифри на дадено положително цяло число x: броят на цифрите е най-малкото число, по-голямо от log10x.[5] Например, log101430 е приблизително 3.15, следващото цяло число е 4, което е и броят на цифрите в 1430.

Както естественият логаритъм, така и логаритъмът с основа 2 (двоичен логаритъм), се използват в информатиката, съответно в базовите единици за информация нат и бит.[6] Двоичните логаритми имат приложение и в компютърните науки, където двоичната бройна система заема централно място, във фотографията за измерване на експозиционното число,[7] както и в теорията на музиката, където важна роля има удвояването на височините (октава), а интервалите в класическата музика обикновено се измерват чрез на двоични логаритми.

Следващата таблица изброява обичайните обозначения на логаритмите с тези три основи и областите, в които те се използват. В много области се изписва logx вместо logbx, когато използвана основа може да бъде определена от контекста. Понякога се среща и означението blogx.[8] Колоната „Обозначение по ISO“ показва обозначенията, препоръчвани от Международната организация по стандартизация в стандарта ISO 31-11.[9] Тъй като изписването log x се използва и за трите основи (или когато основата е неопределена или без значение), предполагаемата основа често се определя въз основа на контекста или съответната научна област. В компютърните науки и математиката log обикновено се отнася съответно за log2 и loge.[10] В други контексти log често обозначава log10.[11]

Основа b Наименование на logbx Обозначение по ISO Други обозначения Приложение
2 двоичен логаритъм lb x[12] ld x, log x, lg x,[13] log2x компютърни науки, информатика, теория на музиката, фотография
e естествен логаритъм ln x log x[14] математика, физика, химия, статистика, икономика, информатика и техника
10 десетичен логаритъм lg x log x, log10x техника, логаритмични таблици, спектроскопия

История[редактиране | редактиране на кода]

Първите изследвания върху концепции сходни с логаритъма, са правени от индийския математик от 8 век Вирасена, който разглежда идеята за ардхакчеда – колко пъти число от вида 2n може да бъде разделено на две цели половини. За точните степени на 2 това число е логаритъмът за тази основа, който е цяло число. Вирасена описва и други свързани зависимости и въвежда също логаритми с основа 3 и 4.[15][16] През 1544 година германецът Михаел Щихел публикува „Обща аритметика“ („Arithmetica integra“), която съдържа таблица със степените на 2, смятана за ранен предшественик на логаритмичните таблици.[17][18][19]

Логаритмите са „изобретени“ от Джон Непер (1550 – 1617) – шотландски математик, лорд на Мърчистън, и от Йобст Бюрги – приятел на Кеплер и кралски придворен часовникар в Прага, както и майстор на астрономически инструменти. Непер изобретява логаритмите преди 1594 г., но публикува откритието си едва след 20 години. В заглавието на труда му „Описание на чудната таблица на логаритмите“ („Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio“) личи същият възторг, с който логаритмите са били посрещани навсякъде.

Логаритмите с основа е са въведени от лондонския учител по математика Джон Спийдъл; през 1619 г. той издава таблица на „новите логаритми“ на числата от 1 до 1000. Тези логаритми възникват „естествено“ при определяне на лицата, ограничени от хиперболата у=1/х (Лицето на фигурата, ограничено от хиперболата 1/x и правите x=a и x=b, при a<b, e ln b – ln a); затова Николаус Меркатор нарича логаритмите при основа е „естествени“ или „хиперболични“. Италианският математик Пиетро Менголи също отбелязва важността на логаритмите с основа е и ги нарича Logarithmi naturali (натурални логаритми).

Термините „логаритъм“ и „антилогаритъм“, въведени от Непер, получават днешния си смисъл у Джон Уолис (1693). Непер разбира под логаритъм log sin α, а под антилогаритъм log cos α. Понятието характеристика, както и самият термин се появяват първоначално в „Arithmetica logarithmica“ на Хенри Бригс през 1624 г.; в таблиците на Непер както числата, така и техните логаритми са цели. Записването на знака над характеристиката започва от Уилям Отред в изданието на „Clavis mathematicae“ (1652), но не получава веднага признание. Мантисата (от етруското mantisa – „добавка“, „придатък“) е въведена от Уолис, който нарича така дробната част на произволна десетична дроб. За първи път Ойлер използва тази дума за означаване на десетичните знаци само на логаритъма (1748).

Думата „основа“ е заимствана от теорията на степенуването и е пренесена в теорията на логаритмите от Ойлер. Модулът на прехода е използван още от Меркатор, а терминът е въведен от Роджър Коутс (1712). Глаголът „логаритмувам“ се появява едва през XIX век.

Непер не използва никакви символи за означаване на логаритмите. Утвърждаващите се съкращения Log, log или l (у Кеплер, Бригс и Отред съответно през 1624, 1631 и 1647 г.) са се употребявали около столетие без строгото им различаване. Коши пръв предлага да се въведат различни знаци за десетичните и естествените логаритми. Означения, близки до съвременните, са въведени от немския математик Прингсхайм (1893). Независимо от бързото разпространяване на логаритмите и утвърждаването им в практиката в тяхната теория остават още много неясни моменти дори за изключителните умове на онова време.

Названието, въведено от Непер, произхожда от гръцките думи λόγος и άρίθμός и означава буквално „числа на отношенията“; обяснява се с това, че логаритмите възникват при съпоставянето на членовете на две редици. Основата на неговите логаритми е близка до 1/е. Английският математик Бригс опростява таблиците на Непер и го убеждава да премине към десетична основа (1624). Тези логаритми впоследствие започват да се наричат „бригови“, „десетични“ или „обикновени“. Таблиците на Бюрги са съставени през периода 1603 – 1611 г. Предполага се, че са били публикувани след 10 години под названието „Таблици за геометричната и аритметичната прогресия заедно с подробно наставление, как да се разбират и използват при всякакви пресмятания“. Те остават незабелязани до 1856 г.

Таблиците за десетичните антилогаритми са съставени от английските математици Пел и У.Уорнър между 1630 и 1640 г. Естествените антилогаритми са пресметнати от барон фон Вега – австрийски офицер и математик (1794).

Исторически приложения[редактиране | редактиране на кода]

Обяснение на логаритмите в „Енциклопедия Британика“ от 1797 година

Опростявайки трудни изчисления, логаритмите допринасят за напредъка на науката, особено на астрономията. Те имат критично значение за напредъка на геодезията, астрономическата навигация и други области. Пиер-Симон Лаплас нарича логаритмите „възхитително изобретение, което, намалявайки до няколко дни работата за много месеци, удвоява живота на астронома и му спестява грешките и отвращението, неотделими от дългите пресмятания“.[20]

Основно пособие, което дава възможност за широко използване на логаритмите преди времето на калкулаторите и компютрите, са логаритмичните таблици.[21] Първата такава таблица се съставена от Хенри Бригс през 1617 година, веднага след въвеждането на логаритмите от Непер. Впоследствие се появяват таблици с все по-широк обхват. В тях са изброени стойностите на logbx и bx за всяко число x в даден интервал, с определена точност и при определена основа b (обикновено b = 10). Например, първата таблица на Бригс съдържа десетичните логаритми на всички цели числа в интервала 1 – 1000 с точност 14 цифри. Тъй като функцията f(x) = bx е обратната функция на logbx, тя е наричана антилогаритъм.[22] Произведението и частното на две положителни числа c и d редовно се изчисляват като сбора и разликата между техните логаритми. Произведението cd или частното c/d се получават от намирането на антилогаритъм от сбора или разликата, също чрез същата таблица:

и

За ръчни пресмятания, които изискват по-съществена точност, намирането на двата логаритъма, изчисляването на техния сбор или разлика и намирането на антилогаритъма е много по-бързо от извършването на умножението по по-ранните методи, като простаферезата, която се извежда от тригонометрични тъждества. Изчисляването на степени и корени се свежда до умножения или деления и търсения, чрез:

и

Много логаритмични таблици показват логаритмите, като дават поотделно цялата и дробната част на log10x.[23] Цялата част за 10 · x е единица плюс цялата част за x, а дробните части са еднакви. Това значително разширява обхвата на логаритмичните таблици – при таблица, включваща log10x за всички цели числа x в интервала от 1 до 1000, логаритъм от 3542 се апроксимира чрез:

С помощта на интерполация може да се постигне и по-голяма точност.

Друго важно приложение на логаритмите е сметачната линия, двойка логаритмично разграфени скали, използвани за изчисления. Неподвижната логаритмична скала е изобретена от Едмънд Гънтър малко след въвеждането на логаритмите. Уилям Отред я усъвършенства с добавянето на втора плъзгаща се скала. На двете скали са поставени числа на разстояния, пропорционални на разликите между техните логаритми. Плъзгането на подвижната скала съответства на механично събиране на логаритми, както е показано тук:

Сметачна линия: два парвоъгълника с логаритмично разграфени оси в положение за добавяне на на разстоянието от 1 до 2 към разстоянието от 1 до 3, показвайки произведението 6.
Схематично изображение на сметачна линия. Тръгвайки от 2 на долната скала, се добавя разстоянието до три на горната скала, за да се получи произведението 6. Сметачната линия работи, тъй като разстоянието от 1 до x е пропорционално на логаритъм от x.

Например, добавянето на разстоянието от 1 до 2 на долната скала към разстоянието от 1 до 3 на горвата скала дава произведението 6, което се отчита на долната скала. Сметачната линия е основно изчислително средство за инженери и учени до 70-те години на XX век, тъй като дава възможност, за сметка на точността, за по-бързи пресмятания от техниките, базирани на логаритмични таблици.

Аналитични свойства[редактиране | редактиране на кода]

Логаритмична функция[редактиране | редактиране на кода]

За по-задълбоченото изследване на логаритмите е необходимо използването на концепцията за функция, правило, съпоставящо на дадено число друго число.[24] За да се дефинира логаритмичната функция трябва да се покаже, че уравнението

има решение x и че това решение е единствено, при условие, че y е положително и че b е положително и различно от 1. Доказателството за това се основава на теоремата за средната стойност,[25] според която непрекъсната функция със стойности m и n има като стойност и всяко число между m и n. Дадена функция е непрекъсната, ако няма скокове.

Може да се покаже, че функцията f(x) = bx има това свойство. Тъй като f има произволно големи и произволно малки положителни стойности, всяко число y > 0 лежи между f(x0) и f(x1) при подходящ избор на x0 и x1. Така от теоремата за средната стойност следва, че уравнението f(x) = y има решение. Освен това, решението е единствено, тъй като функцията f е строго нарастваща (за b > 1) или строго намаляваща (за 0 < b < 1).[25]

Единственото решение x е логаритъмът на y при основа b, logby. Функцията, съпоставяща на y неговия логаритъм се нарича логаритмична функция (или често само логаритъм).

Функцията logbx се характеризира и формулата за произведение на логаритми

По-точно логаритъмът за всяка основа b > 1 е единствената нарастваща функция f от множеството на положителните реални числа в множеството на реалните числа, за която f(b) = 1 и[26]

Обратна функция[редактиране | редактиране на кода]

Графиката на лотаритмичната функция logb(x) (в синьо) се получава чрез отражение на графиката на функцията bx (в червено) спрямо диагоналната права (x = y)

Според формулата за логаритъм на дадена степен за всяко число x,

Логаритъм при основа b от x-тата степен на b дава x. Обратно, за дадено положително число y, формулата

казва, че ако първо се логаритмува y, а след това основата се повдигне на степен логаритъма, се получава y. По този начин и двата възможни начина на съчетаване на логаритмуване и степенуване дават като резултат първоначалното число. Следователно логаритъмът с основа b е обратната функция на f(x) = bx.[27]

Обратните функции са тясно свързани с изходните функции. Техните графики си съответстват една на друга с промяна на координатите x и y (отражение спрямо диагоналната линия x = y), както е показано на схемата вдясно: дадена точка (t, u = bt) на графиката на f съответства на точка (u, t = logbu) на графиката на логаритъма и обратното. От това следва, че logb(x) е разходяща до безкрайност (става по-голяма от всяко дадено число), ако x нараства до безкрайност, при условие, че b е по-голямо от едно. В този случай logb(x) е растяща функция. За b < 1, logb(x) клони към минус безкрайност. Когато x наближава нула, logbx клони към минус безкрайност за b > 1 (съответно, към плюс безкрайност за b < 1).

Производна и антипроизводна[редактиране | редактиране на кода]

Интегрално представяне на естествения логаритъм[редактиране | редактиране на кода]

Трансцендентност[редактиране | редактиране на кода]

Бележки[редактиране | редактиране на кода]

Цитирани източници

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]