Магически квадрат

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Магически квадрат 3×3

Магически квадрат в математиката и комбинаториката се нарича таблица n×nn на брой клетки във всеки ред и колона) запълнена с n² естествени числа (1, 2, 3, … n²), присъстващи само по веднъж, по такъв начин, че всеки ред, колона, както и двата диагонала, да правят една и съща сума (наричана „магическа константа“). Според четността на страната му n магическите квадрати се делят на четни и нечетни. Магическият квадрат е частен случай на латинския квадрат.

История[редактиране | редактиране на кода]

Най-старото описание на магически квадрат идва от Древен Китай, датирано е около 80 г. пр.Хр., но вероятно задачата е от много преди това. Пъзелът се нарича „хау ту” и се състои от клетки в квадрат 3×3, запълнени с числата от 1 до 9, като сбора от всеки три числа в един ред, колонка или диагонал е точно 15.[1]

Изображения на магически квадрати са намирани и в Индия, като най-старите са отнесени към 1 век. Популярни за индуските паметници са квадратите 4×4, където магическата константа е 34.[2]

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Главното свойство на магическия квадрат без значение от неговата големината е еднаквата сума на числата в редовете, колоните и диагоналите. Това свойство се запазва и при следните действия:

  • Завъртането около центъра.
  • Хоризонтално, вертикално или диагонално обръщане.
  • Добавянето на, изваждането от или умножението с произволно число.

Вариантите за магически квадрат със страна n равна на 1, 2, 3, 4 и 5 (без завъртания и обръщания) са съответно 1, 0, 1, 880, 275 305 224 (последователност A006052 в OEIS). Виждате, че не съществува магически квадрат със страна 2. Вариантите за магически квадрат със страна 6 се изчисляват приблизително на 1,7745×1019.[3]

Магическа константа[редактиране | редактиране на кода]

Магическата константа е сумата на числата във всеки ред, колона и диагонал на магическия квадрат. Нейната стойност се изчислява по формулата , където n е страната на магическия квадрат.

3×3[редактиране | редактиране на кода]

Има само един начин за подредба на числата от 1 до 9 в квадрат 3×3, като чрез завъртане (4 варианта) и огледалните им варианти (по 2) дават общото количество от 8 варианта. Числото 5 винаги е в средата, като така участва в средните колона и ред, както и в двата диагонала. Останалите по четири броя числа по-малки и по-големи от 5, взаимно се компенсират, за да се получи сумата 15 (1 с 9, 2 с 8, 3 с 7, 4 с 6).

8 1 6
3 5 7
4 9 2
4 3 8
9 5 1
2 7 6
2 9 4
7 5 3
6 1 8
6 7 2
1 5 9
8 3 4
4 9 2
3 5 7
8 1 6
2 7 6
9 5 1
4 3 8
6 1 8
7 5 3
2 9 4
8 3 4
1 5 9
6 7 2

4×4[редактиране | редактиране на кода]

2 16 13 3
11 5 8 10
7 9 12 6
14 4 1 15

При магическия квадрат 4×4 магическата константа е 34, като числата във всеки съставящ го подквадрат 2×2, както и в централния квадрат 2×2, отново имат сума 34. Също и сборът от четирите ъглови клетки е 34.

Приноси[редактиране | редактиране на кода]

Меланхолия I (детайл)

Албрехт Дюрер (1471 – 1528) в гравюрата си „Меланхолия I“ рисува магически квадрат 4×4, който съдържа в двете долни полета „1514“ – годината, когато е създадена творбата. Двете крайни долни полета 4 и 1 се свързват с инициалите на Албрехт Дюрер – 4-тата и първата буква „D“ и „A“. Това е най-старата запазена творба в европейското изкуство, съдържаща магически квадрат. Квадратът е свързан с Юпитер и целта му е да победи меланхолията.

Саграда Фамилия (фасаден детайл)

Върху една от фасадите на Саграда Фамилия в Барселона, концептуализирана от Антони Гауди (1852 – 1926), има вариант на магически квадрат 4×4. Квадратът е хоризонтално и вертикално обърнато копие на „Меланхолия I“ на Дюрер, на който от 4 клетки е извадено 1, за да може магическата константа да е 33 - Христовата възраст.

Галерия[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]