Малка теорема на Ферма

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Теоремата на Ферма гласи:


Ако a е цяло число () и p e просто число , то


Числови примери[редактиране | редактиране на кода]

  • 43 − 4 = 60 се дели на 3.
  • (−3)7 − (−3) = −2184 се дели на 7.
  • 297 − 2 = 158456325028528675187087900670 се дели на 97.


Доказателство на теоремата чрез метода на индукцията[редактиране | редактиране на кода]

Ще докажем, че за всяко просто p и цяло неотрицателно a, се дели на p като използваме метода на математическата индукция.

1) За a=0, и и се дели на p

2) Да допуснем, че твърдението е вярно за a=k. Ще го докажем и за a=k+1.

Но се дели на p по предположение на индукцията. Що се отнася до другото събираемо, то . За , числителя на тази дроб се дели на p, а знаменателя - не се дели, следователно, се дели на . Следователно цялата сума се дели на p, което и трябваше да се докаже.

За отрицателни a и нечетни p теоремата се доказва лесно ако приемем, че b=-a. За отрицателни a и p=2, верността на теоремата следва от .