Метричен тензор

В диференциалната геометрия, метричен тензор е вид тензор от 2 ред, позволяващ да се определи скаларното произведение на два вектора във всяка точка от пространството и който се използва за измерването на дължини и ъгли. Обобщава теоремата на Питагор. В дадена координатна система метричният тензор може да бъде представен като матрица $G$.

Базови координати вектори

Разглеждат се два произволни вектора в координатна система:

$A=A1e_{1}+A2e_{2}+A3e_{3}$

$B=B1e_{1}+B2e_{2}+B3e_{3}$

, където $e_{1},e_{2},e_{3}$ са ортогонални базови вектори.

За удобство се използва съкратен вариант на записване:

A = (A1; A2; A3)

B = (B1; B2; B3)

Може да се направи такова записване и за базовите вектори:

e1 = (1; 0; 0);

e2 = (0; 1; 0);

e3 = (0; 0; 1):

В тензорния анализ се използват множество съкращения при записване на изразите за сумиране и умножение.

Едно от най-ползваните означения е символа на Кронекер – (делта):

$\delta _{ij}=1$ ако i =j,

$\delta _{ij}=0$ ако $i\neq j$

В сила е и следното записване на коефициентите на Кронекер:

$\delta _{i}j=\delta _{i}^{j}$

$\delta _{11}=1\quad \delta _{12}=0\quad \delta _{13}=0\quad$

$\delta _{21}=0\quad \delta _{22}=1\quad \delta _{23}=0\quad$

$\delta _{31}=0\quad \delta _{32}=0\quad \delta _{33}=1$

Ако се ползва горен индекс се получава:

$\delta _{1}^{1}=1\quad \delta _{1}^{2}=0\quad \delta _{1}^{3}=0\quad$

$\delta _{2}^{1}=0\quad \delta _{2}^{2}=1\quad \delta _{2}^{3}=0\quad$

$\delta _{3}^{1}=0\quad \delta _{3}^{2}=0\quad \delta _{3}^{3}=1$

В случай на ортогонална координатна система с единични вектори $e_{1},e_{2},e_{3}$ има следната формула:

$e_{m}e_{n}=\delta _{mn}$, където m; n = 1; 2; 3

Реципрочни базови вектори

Разглежда се координатна система с базови вектори: ${\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3}$

Приема се, че те не са нито ортогонални, нито единични.

Всеки вектор А в това пространство може да бъде представен като произведение на координатите със съответните базови вектори:

${\vec {A}}=A^{1}{\vec {E}}_{1}+A^{2}{\vec {E}}_{2}+A^{3}{\vec {E}}_{3}$

Разглежда се реципрочна базова координатна система. Тя отговаря на следните условия: Базови вектори: ${\vec {E}}^{1},{\vec {E}}^{2},{\vec {E}}^{3}$

${\vec {E}}_{1}.{\vec {E}}^{1}=1$

${\vec {E}}_{2}.{\vec {E}}^{2}=1$

${\vec {E}}_{3}.{\vec {E}}^{3}=1$

${\vec {E}}_{1}.{\vec {E}}^{2}=0$

${\vec {E}}_{1}.{\vec {E}}^{3}=0$

${\vec {E}}_{2}.{\vec {E}}^{3}=0$

Втората група от условия налагат${\vec {E}}^{1}$ да е перпендикулярен на ${\vec {E}}_{2}$ и ${\vec {E}}_{3}$,

${\vec {E}}^{2}$ да е перпендикулярен на равнината, определена от ${\vec {E}}_{1}$ и ${\vec {E}}_{3}$

и ${\vec {E}}^{3}$ да е перпендикулярен на равнината, определена от ${\vec {E}}_{1}$ и ${\vec {E}}_{2}$.

Горните изисквания могат да бъдат записани съкратено чрез символа на Кроникер:

${\vec {E}}_{i}.E^{j}=\delta _{i}^{j}$, където i,j = 1,2,3

Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори

От условията по въвеждането на реципрочната база вектори: ${\vec {E}}^{1},{\vec {E}}^{2},{\vec {E}}^{3}$ се вижда че ${\vec {E}}^{1}$ трябва да е перпендикулярен на ${\vec {E}}_{2}$ и ${\vec {E}}_{3}$.

Следователно той може да бъде представен като произведение

${\vec {E}}^{1}=V^{-1}.{\vec {E}}_{2}\times {\vec {E}}_{3}$

където $V^{-1}$ е константа, която предстои да бъде определена по-нататък.

Ако последното равенство бъде умножено скаларно с вектора ${\vec {E}}_{1}$ ще се получи обемът на паралелепипеда, зададен от базата ${\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3}$.

${\vec {E}}_{1}.{\vec {E}}^{1}=V^{-1}.{\vec {E}}_{1}.({\vec {E}}_{2}\times {\vec {E}}_{3})$

$V={\vec {E}}_{1}.({\vec {E}}_{2}\times {\vec {E}}_{3})$ – обем на паралелепипед, зададен от базовите вектори с общо начало.

Съответно връзката между базата вектори $({\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3})$ и реципрочната база от вектори $({\vec {E}}^{1},{\vec {E}}^{2},{\vec {E}}^{3})$ е:

${\vec {E}}^{1}=V^{-1}.{\vec {E}}_{2}\times {\vec {E}}_{3}$

${\vec {E}}^{2}=V^{-1}.{\vec {E}}_{3}\times {\vec {E}}_{1}$

${\vec {E}}^{3}=V^{-1}.{\vec {E}}_{1}\times {\vec {E}}_{2}$

Контравариантно и ковариантно представяне на вектор

Нека да има база от вектори ${\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3}$ и съответната реципрочна база от вектори: ${\vec {E}}^{1},{\vec {E}}^{2},{\vec {E}}^{3}$.

Разглежда се вектор А, за който е в сила следното представяне спрямо ${\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3}$

${\vec {A}}=A^{1}{\vec {E}}_{1}+A^{2}{\vec {E}}_{2}+A^{3}{\vec {E}}_{3}$

Координатите $A^{1},A^{2},A^{3}$ се наричат контравариантни компоненти на А.

Тяхната стойност се определя от:

$A^{1}={\vec {A}}.{\vec {E}}^{1}$

$A^{2}={\vec {A}}.{\vec {E}}^{2}$

$A^{3}={\vec {A}}.{\vec {E}}^{3}$

Ако представим вектор А в реципрочната координатна система имаме:

${\vec {A}}=A_{1}{\vec {E}}^{1}+A_{2}{\vec {E}}^{2}+A_{3}{\vec {E}}^{3}$

Координатите $A_{1},A_{2},A_{3}$ се наричат ковариантни компоненти на А.

Те се определят от равенствата:

$A_{1}={\vec {A}}.{\vec {E}}_{1}$

$A_{2}={\vec {A}}.{\vec {E}}_{2}$

$A_{3}={\vec {A}}.{\vec {E}}_{3}$

Метричен тензор

Контравариантното и ковариантното представяне на вектор са различни начини за представяне на един и същи вектор спрямо две реципрочни бази от координатни вектори.

Разглеждат се две бази от координатни вектори $({\vec {E}}_{1},{\vec {E}}_{2},{\vec {E}}_{3})$ и $({\vec {E}}^{1},{\vec {E}}^{2},{\vec {E}}^{3})$, но в този случай те да не са реципрочни.

Ползвайки същия подход както при реципрочните векторни бази се записва:

${\vec {E}}_{i}.{\vec {E}}_{j}={\vec {E}}_{j}.{\vec {E}}_{i}=g_{ij}=g_{ji}$

${\vec {E}}^{i}.{\vec {E}}^{j}={\vec {E}}^{j}.{\vec {E}}^{i}=g^{ij}=g^{ji}$

скаларните величини: $g_{ij}$ се наричат метрични компоненти на пространството.

Съответно $g^{ij}$ се наричат спрегнати метрични компоненти на пространството.

Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството

Разглежда се векторът $A(A^{1},A^{2},A^{3})$, представен спрямо базата $E_{1},E_{2},E_{3}$.

${\vec {A}}=A^{1}{\vec {E}}_{1}+A^{2}{\vec {E}}_{2}+A^{3}{\vec {E}}_{3}$

От предишните подточки се знае, че

$A_{1}={\vec {A}}E_{1}$

$A_{2}={\vec {A}}E_{2}$

$A_{3}={\vec {A}}E_{3}$

${\vec {A}}E_{1}=(A^{1}E_{1}+A^{2}E_{2}+A^{3}E_{3}).E_{1}=A_{1}$

Умножава се:

${\vec {A}}E_{1}=A^{1}E_{1}.E_{1}+A^{2}E_{2}.E_{1}+A^{3}E_{3}.E_{1}=A_{1}$ ${\vec {A}}E_{1}=A_{1}E^{1}E_{1}+A_{2}E^{2}E_{1}+A_{3}E^{3}E_{1}=A_{1}$

Ползвайки метричните компоненти на пространството се получава:

$A_{1}=A^{1}g_{11}+A^{2}g_{12}+A^{3}g_{13}$

$A_{2}=A^{1}g_{21}+A^{2}g_{22}+A^{3}g_{23}$

$A_{3}=A^{1}g_{31}+A^{2}g_{32}+A^{3}g_{33}$

Връзката между контраварианните и ковариантните координати на вектор А е:

$A^{1}=A_{1}g^{11}+A_{2}g^{12}+A_{3}g^{13}$

$A^{2}=A_{1}g^{21}+A_{2}g^{22}+A_{3}g^{23}$

$A^{3}=A_{1}g^{31}+A_{2}g^{32}+A_{3}g^{33}$

Външни препратки

• „Теоретическа физика“ – Л. Д. Ландау, Лифшиц
• An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering, released by NASA
• Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics
• A Quick Introduction to Tensor Analysis by R. A. Sharipov