Метричен тензор

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Базови координати вектори[редактиране | редактиране на кода]

Разглеждаме два произволни вектора в координатна система:

, където са ортогонални базови вектори.

За удобство се използва съкратен вариант на записване:

A = (A1; A2; A3)
B = (B1; B2; B3)


Можем да направим такова записване и за базовите вектори:

e1 = (1; 0; 0);
e2 = (0; 1; 0);
e3 = (0; 0; 1):

В тензорния анализ се използват множество съкращения при записване на изразите за сумиране и умножение.

Едно от най-ползваните означения е символа на Кронекер - (делта):


ако i =j,
ако
В сила е и следното записване на коефициентите на Кронекер:


Ако ползваме горен индекс се получава:


В случай на ортогонална координатна система с единични вектори имаме следната формула:

където m; n = 1; 2; 3

Реципрочни базови вектори[редактиране | редактиране на кода]

Разглеждаме координатна система с базови вектори:

Приемаме че те не са нито ортогонални, нито единични. Всеки вектор А в това пространство може да бъде представен като произведение на координатите със съответните базови вектори:


А сега да разгледаме реципрочна базова координатна система. Тя отговаря на следните условия: Базови вектори:

Забележете че втората група от условия налагат да е перпендикулярен на и ,

да е перпендикулярен на равнината, определена от и

и да е перпендикулярен на равнината, определена от и .

Горните изисквания могат да бъдат записани съкратено чрез символа на Кроникер:

, където i,j = 1,2,3


Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори[редактиране | редактиране на кода]

От условията по въвеждането на реципрочната база вектори: се вижда че трябва да е перпендикулярен на и . Следователно той може да бъде представен като произведение

където е константа, която предстои да бъде определена по нататък.

Ако последното равенство бъде умножено скаларно с вектора ще получим обема на паралелепипеда, зададен от базата .


-обем на паралелепипед зададен от базовите вектори с общо начало.

Съответно връзката между базата вектори и реципрочната база от вектори е:


Контравариантно и ковариантно представяне на вектор[редактиране | редактиране на кода]

Нека да имаме база от вектори и съответната реципрочна база от вектори: .

Разглеждаме вектор А, за който е в сила следното представяне спрямо

Координатите се наричат контравариантни компоненти на А.

Тяхната стойност се определя от:


Ако представим вектор А в реципрочната координатна система имаме:

Координатите се наричат ковариантни компоненти на А.

Те се определят от равенствата:

Метричен тензор[редактиране | редактиране на кода]

Контравариантното и ковариантното представяне на вектор са различни начини за представяне на един и същи вектор спрямо две реципрочни бази от координатни вектори.

Да разглеждаме две бази от координатни вектори и , но в този случай те да не са реципрочни. Ползвайки същия подход както при реципрочните векторни бази записваме:

скаларните величини: се наричат метрични компоненти на пространството. Съответно се наричат спрегнати метрични компоненти на пространството.

Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството[редактиране | редактиране на кода]

Да разгледаме вектора представен спрямо базата .

От предишните подточки знаем че


Умножаваме:

Ползвайки метричните компоненти на пространството получаваме:


Ето връзката между контраварианните и ковариантните координати на вектор А:


Ползвана литература и полезни материали в интернет[редактиране | редактиране на кода]

  • Английската и руската версии на Уикипедия
  • "Теоретическа физика" - Л.Д.Ландау, Лифшиц