Метричен тензор

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

В диференциалната геометрия, метричен тензор е вид тензор от 2 ред, позволяващ да се определи скаларното произведение на два вектора във всяка точка от пространството и който се използва за измерването на дължини и ъгли. Обобщава теоремата на Питагор. В дадена координатна система метричният тензор може да бъде представен като матрица .

Базови координати вектори[редактиране | редактиране на кода]

Разглеждат се два произволни вектора в координатна система:

, където са ортогонални базови вектори.

За удобство се използва съкратен вариант на записване:

A = (A1; A2; A3)
B = (B1; B2; B3)

Може да се направи такова записване и за базовите вектори:

e1 = (1; 0; 0);
e2 = (0; 1; 0);
e3 = (0; 0; 1):

В тензорния анализ се използват множество съкращения при записване на изразите за сумиране и умножение.

Едно от най-ползваните означения е символа на Кронекер – (делта):

ако i =j,
ако
В сила е и следното записване на коефициентите на Кронекер:

Ако се ползва горен индекс се получава:

В случай на ортогонална координатна система с единични вектори има следната формула:

, където m; n = 1; 2; 3

Реципрочни базови вектори[редактиране | редактиране на кода]

Разглежда се координатна система с базови вектори:

Приема се, че те не са нито ортогонални, нито единични.

Всеки вектор А в това пространство може да бъде представен като произведение на координатите със съответните базови вектори:

Разглежда се реципрочна базова координатна система. Тя отговаря на следните условия: Базови вектори:

Втората група от условия налагат да е перпендикулярен на и ,

да е перпендикулярен на равнината, определена от и

и да е перпендикулярен на равнината, определена от и .

Горните изисквания могат да бъдат записани съкратено чрез символа на Кроникер:

, където i,j = 1,2,3

Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори[редактиране | редактиране на кода]

От условията по въвеждането на реципрочната база вектори: се вижда че трябва да е перпендикулярен на и .

Следователно той може да бъде представен като произведение

където е константа, която предстои да бъде определена по-нататък.

Ако последното равенство бъде умножено скаларно с вектора ще се получи обемът на паралелепипеда, зададен от базата .

 – обем на паралелепипед, зададен от базовите вектори с общо начало.

Съответно връзката между базата вектори и реципрочната база от вектори е:

Контравариантно и ковариантно представяне на вектор[редактиране | редактиране на кода]

Нека да има база от вектори и съответната реципрочна база от вектори: .

Разглежда се вектор А, за който е в сила следното представяне спрямо

Координатите се наричат контравариантни компоненти на А.

Тяхната стойност се определя от:

Ако представим вектор А в реципрочната координатна система имаме:

Координатите се наричат ковариантни компоненти на А.

Те се определят от равенствата:

Метричен тензор[редактиране | редактиране на кода]

Контравариантното и ковариантното представяне на вектор са различни начини за представяне на един и същи вектор спрямо две реципрочни бази от координатни вектори.

Разглеждат се две бази от координатни вектори и , но в този случай те да не са реципрочни.

Ползвайки същия подход както при реципрочните векторни бази се записва:

скаларните величини: се наричат метрични компоненти на пространството.

Съответно се наричат спрегнати метрични компоненти на пространството.

Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството[редактиране | редактиране на кода]

Разглежда се векторът , представен спрямо базата .

От предишните подточки се знае, че

Умножава се:

Ползвайки метричните компоненти на пространството се получава:

Връзката между контраварианните и ковариантните координати на вектор А е:

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]