Най-малко общо кратно

Дадени са две цели числа a и b. Минималното естествено число d (d > 0) такова, че a|d и b|d се нарича най-малко общо кратно (НОК) на a и b.

По-лесно намиране на НОК

Напишете числата, на които трябва да получите НОК, отделени със запетаи, зад вертикална черта. Тъй като търсим най-малко общо кратно трябва да намерим най-малкият делител на тези числа. Например: НОК на (24 и 180)

Разлагаме само на прости множители. Т.е. НОК на две числа може да се разгледа като обединение на каноничното им разлагане на прости множители (обратно - НОД се разглежда като сечение). Нека са ни дадени числата a и b, и нека имаме техните разлагания, като и в двете разлагания участват едни и същи прости числа (тези, които се срещат в поне едно от разлаганията на a и b), като за "чуждите" множители се поставя 0-ва степен:

$a=p_{1}^{r_{1}}\dots p_{k}^{r_{k}},b=p_{1}^{q_{1}}\dots p_{k}^{q_{k}},q_{i}\geq 0,r_{i}\geq 0(i=1,\dots ,k)$$a=p_{1}^{r_{1}}\dots p_{k}^{r_{k}},b=p_{1}^{q_{1}}\dots p_{k}^{q_{k}},q_{i}\geq 0,r_{i}\geq 0(i=1,\dots ,k)$

Тогава за НОК (бележим [a,b]) и НОД (бележим (a,b)) имаме:

$[a,b]=p_{1}^{max(r_{1},q_{1})}\dots p_{k}^{max(r_{k},q_{k})},(a,b)=p_{1}^{min(r_{1},q_{1})}\dots p_{k}^{min(r_{k},q_{k})}$$[a,b]=p_{1}^{max(r_{1},q_{1})}\dots p_{k}^{max(r_{k},q_{k})},(a,b)=p_{1}^{min(r_{1},q_{1})}\dots p_{k}^{min(r_{k},q_{k})}$

От последното:

$[a,b](a,b)=p_{1}^{max(r_{1},q_{1})+min(r_{1},q_{1})}\dots p_{k}^{max(r_{k},q_{k})+min(r_{k},q_{k})}=p_{1}^{r_{1}+q_{1}}\dots p_{k}^{r_{k}+q_{k}}=ab$$[a,b](a,b)=p_{1}^{max(r_{1},q_{1})+min(r_{1},q_{1})}\dots p_{k}^{max(r_{k},q_{k})+min(r_{k},q_{k})}=p_{1}^{r_{1}+q_{1}}\dots p_{k}^{r_{k}+q_{k}}=ab$

Последното дава ефективен алгоритъм за изчисляването на НОК (чрез пресмятането на НОД, за което имаме ефективен метод - алгоритъма на Евклид). Първоначалният начин изискваше разлагането на прости множители, което няма ефективно алгоритмично решение.