Най-малко общо кратно

Дадени са две цели числа a и b. Минималното естествено число d (d > 0) такова, че a|d и b|d се нарича най-малко общо кратно (НОК) на a и b.

По-лесно намиране на НОК

Напишете числата, на които трябва да получите НОК, отделени със запетаи, зад вертикална черта. Тъй като търсим най-малко общо кратно трябва да намерим най-малкият делител на тези числа. Например: НОК на (24 и 180)

Разлагаме само на прости множители. Т.е. НОК на две числа може да се разгледа като обединение на каноничното им разлагане на прости множители (обратно - НОД се разглежда като сечение). Нека са ни дадени числата a и b, и нека имаме техните разлагания, като и в двете разлагания участват едни и същи прости числа (тези, които се срещат в поне едно от разлаганията на a и b), като за "чуждите" множители се поставя 0-ва степен:

$a=p_1^{r_1} \dots p_k^{r_k}, b=p_1^{q_1} \dots p_k^{q_k}, q_i \ge 0, r_i \ge 0 (i=1,\dots,k)$

Тогава за НОК (бележим [a,b]) и НОД (бележим (a,b)) имаме:

$[a,b]=p_1^{max(r_1,q_1)} \dots p_k^{max(r_k,q_k)}, (a,b)=p_1^{min(r_1,q_1)} \dots p_k^{min(r_k,q_k)}$

От последното:

$[a,b](a,b)=p_1^{max(r_1,q_1)+min(r_1,q_1)} \dots p_k^{max(r_k,q_k)+min(r_k,q_k)}=p_1^{r_1+q_1} \dots p_k^{r_k+q_k}=ab$

Последното дава ефективен алгоритъм за изчисляването на НОК (чрез пресмятането на НОД, за което имаме ефективен метод - алгоритъма на Евклид). Първоначалният начин изискваше разлагането на прости множители, което няма ефективно алгоритмично решение.