Неравенство на Карамата

Неравенството на Карамата, наречено на сръбския математик Йован Карамата, още известно като мажорационно неравенство, е теорема от елементарната алгебра.

Ако е дадена функция $f:{\mathcal {I}}\rightarrow \mathbb {R}$, изпъкнала в интервала ${\mathcal {I}}$, тогава за всеки две мажориращи се редици $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\succ \{y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\}$ е изпълнено:

$$f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})\geq f(y_{1})+\cdots +f(y_{n}).$$ Доказателство:

Първо нека положим $c_{i}={\frac {f(y_{i})-f(x_{i})}{y_{i}-x_{i}}}$, което поради изпъкналостта на функцищта $f(x)$ и мажорирането на редиците $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$, образува ненамаляваща редица. Тоест $$c_{i}\geq c_{i+1}\Leftrightarrow {\frac {f(y_{i})-f(x_{i})}{y_{i}-x_{i}}}\geq {\frac {f(y_{i+1})-f(x_{i+1})}{y_{i+1}-x_{i+1}}}.$$

Това следва последователно от ${\frac {b-c}{a-c}}f(a)+{\frac {a-b}{a-c}}f(c)\geq f(b)=f({\frac {b-c}{a-c}}a+{\frac {a-b}{a-c}}c)\Leftrightarrow {\frac {f(a)-f(c)}{a-c}}\geq {\frac {f(b)-f(c)}{b-c}}$ за $a\geq b$, което е дефиницията за изпъкналост. Тогава от факта, че $x_{1}\geq x_{2}\geq \ldots \geq x_{n}$ и $y_{1}\geq y_{2}\geq \ldots \geq y_{n}$, се получава

$${\frac {f(y_{i})-f(x_{i})}{y_{i}-x_{i}}}\geq {\frac {f(y_{i})-f(x_{i+1})}{y_{i}-x_{i+1}}}\geq {\frac {f(y_{i+1})-f(x_{i+1})}{y_{i+1}-x_{i+1}}}.$$

Полагаме $A_{k}=x_{1}+\ldots +x_{k}$ и $B_{k}=y_{1}+\ldots +y_{k}$ за $k=1,2,\ldots ,n$ и заради мажорирането $A_{k}\geq B_{k}$ за $k=1,2,\ldots ,n-1$ и $A_{n}=B_{n}$.

В такъв случай $\sum _{i=1}^{n}(f(x_{i})-f(y_{i}))=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x_{i}-y_{i})=$ $\sum _{i=1}^{n}(c_{i}-c_{i+1})(x_{1}+x_{2}+...+x_{i})-\sum _{i=1}^{n}(c_{i}-c_{i+1})(y_{1}+y_{2}+...+y_{i})=$ $=\sum _{i=1}^{n-1}(c_{i}-c_{i+1})(A_{i}-B_{i})+c_{n}(A_{n}-B_{n})$, което очевидно е по-голямо от 0.

Пример

Ако вместо $(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ използваме редицата $\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}},\cdots ,{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)$, ще получим неравенството на Йенсен.

Вижте също

• Мажоризация