Неравенство на Коши – Буняковски – Шварц

В математиката или по-точно Евклидовата геометрия неравенството на Коши – Буняковски – Шварц ни дава връзка между две основни концепции: дължина и ъгъл. Същността на неравенството всъщност е, че проекцията на един вектор върху друг не може да бъде по-дълга от самия вектор, освен ако посоката им не съвпада. То също така стои в основата на доказателството за неравенството на триъгълника $($$||v+u||\leq \|v\|+\|u\|$$)$.

Формална дефиниция:

Нека $E$ е Евклидово пространство с дефинирано скаларно произведение (пишем $\langle v,u\rangle$). Нека $v$$,$$u$$\in$$E$ са произволни вектори. Тогава неравенството

$$|\langle v,u\rangle |\leq \|v\|\cdot \|u\|$$

е изпълнено винаги.

Бележка: $\langle v,u\rangle$ е скаларното произведение на векторите $v$ и $u$, по модул. С $||v||$ означаваме дължина (норма) на вектор.

Доказателство:

Нека спрямо ортонормиран базис $e_{1},\dots ,e_{n}$ имаме $v=v_{1}e_{1}+\dots +v_{n}e_{n}$, $u=u_{1}e_{1}+\dots +u_{n}e_{n}$.

$$=>|v_{1}u_{1}+\dots +v_{n}u_{n}|\leq {\sqrt {(v_{1}^{2}+\dots +v_{n}^{2})(u_{1}^{2}+\dots +u_{n}^{2})}}$$

$${\begin{vmatrix}|\langle v,v\rangle |&|\langle v,u\rangle |\\|\langle u,v\rangle |&|\langle u,u\rangle |\end{vmatrix}}\geq 0$$

$$|\langle v,v\rangle |\cdot |\langle u,u\rangle |-{|\langle v,u\rangle |}^{2}\geq 0$$

$${|\langle v,u\rangle |}^{2}\leq |\langle v,v\rangle |\cdot |\langle u,u\rangle |$$

$${\sqrt {{|\langle v,u\rangle |}^{2}}}\leq {\sqrt {\langle v,v\rangle }}\cdot {\sqrt {\langle u,u\rangle }}$$

$$|\langle v,u\rangle |\leq \|v\|\cdot \|u\|$$