Оператор на Лаплас

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Оператор на Лаплас (лапласиан, оператор делта) във векторния анализ е диференциален оператор, действащ в линейното пространство на гладките функции и означаван със символа \ \Delta.

Лапласианът на функцията F\ е
\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F.

Операторът на Лаплас е еквивалентен на последователно прилагане на градиент и дивергенция: \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad},

като по този начин значението на оператора на Лаплас в дадена точка може да се изтълкува като плътност на източниците (или стока) на потенциалното векторно поле  \ \operatorname{grad}F  в тази точка.

В декартова координатна система операторът на Лаплас често се означава по следния начин: \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2, тоест като скаларно произведение на оператора набла по себе си.