Оператор на Хамилтон

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Хамилтоновият оператор представлява трансформация на Лежандр спрямо оператора на Лагранж. Въведен е през 1833 година от Уилям Роуън Хамилтон и позволява нов поглед върху класическата механика.

Ако трансформираме уравненията, чрез дефиниране на координатна система, независима от времето t, може да се покаже че H е равен на общата енергия: E = T + V.

H = T + V, Т – кинетична енергия, V – потенциална енергия

Математическа дефиниция[редактиране | редактиране на кода]

От математическа гледна точка една нелинейна динамична система е Хамилтонова, ако се задава от 2N на брой обикновени диференциални уравнения от първи ред със симплетична структура:[1]

и .

Всяка двойка е степен на свобода, така че като цяло системата е с N степени на свобода. Скаларната функция определя напълно системата и се нарича Хамилтониан.[1] Зависимостта на системата от времето (t) я прави неавтономна и добавя още една степен на свобода (N+1), или половин (N+1/2), ако зависимостта от t е периодична. Нередки са случаите, когато системата е автономна.

Да разгледаме диференциала на Н:

Замествайки моментите на движението със съответните коефициенти получаваме Каноничното равенство на Хамилтон:

Хамилтоновото уравнение е диференциално уравнение от първи ред и това улеснява решаването му, докато уравнението на Лагранж е от втори ред. Но основното предимство на Хамилтоновото уравнение е в това че оператора на Хамилтон по-добре отговаря и описва физическата същност на движението.

В крайна сметка резултатът, който получаваме и при Лагранж и при Хамилтон е един и същ, все пак спестяваме малко труд при решението на уравненията. Въвеждането на оператора на Хамилтон позволява по-задълбочено изследване на основните принципи на класическата механика.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. а б Панчев, Стойчо. Теория на хаоса. София, Издетелство на БАН „Проф. Марин Дринов“, 2005. ISBN 954-430-725-7. с. 95, 243, 244, 248.