Оператор на д'Аламбер

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

В специалната теория на относителността, електромагнетизма и теорията на вълните, операторът на д'Аламбер (обозначаван с кутийка: ), също наричан д'Аламбертиан или вълнов оператор, е лапласиан в пространството на Минковски. Операторът е наречен в чест на френския математик и физик Жан льо Рон д'Аламбер.

В пространство на Минковски и в стандартни координати (t, x, y, z), има следната форма:

Тук ∇² е триизмерен лапласиан, а gμν е обратната метрика на Минковски с

, , for .

Трябва да се отбележи, че показателите за сума на μ и ν са в диапазона от 0 до 3. Взети са такива единици предвид, че скоростта на светлината c = 1.

Някои автори, също така, използват отрицателната метрична сигнатура от (− + + +), с .

Трансформациите на Лоренц оставят метриката на Минковски инвариантна, така че д'Аламбертианът дава Лоренцов скалар. По-горният координатен израз остава валиден за стандартни координати във всяка инерционна система.

Алтернативна нотация[редактиране | редактиране на кода]

Има различни нотации за д'Аламбертиана. Най-честото означение е със символа : четирите страни квадрата представляват четирите измерения на пространство-времето и , който подчертава скаларното свойство. Символът понякога се нарича квабла (по аналогия с набла). Придържайки се към тригълната нотация на лапласиана, понякога се използва и нотацията ∆M.

Друг начин за изписване на д'Аламбертиана в стандартни координати е с ∂². Тази нотация се използва основно в квантовата теория на полето, където частните производни обикновено се индексират.

Приложение[редактиране | редактиране на кода]

Уравнението на вълната за малки вибрации има вида:

където u(x,t) е преместването.

Уравнението на вълната за електромагнитно поле във вакуум е:

където Aμ е електромагнитният 4-потенциал.

Уравнението на Клайн – Гордън има вида:

Функция на Грийн[редактиране | редактиране на кода]

Функцията на Грийн за д'Аламбертиана е дефинирана от уравнението:

където δ(~x~x') е многоизмерната делта функция на Дирак, а ~x и ~x' са две точки в пространството на Минковски.

Специално решение се получава от забавената функция на Грийн, която съответства на разпространението на сигнал само напред във времето:

[1]

където Θ е функцията на Хевисайд.

Запис в криволинейни координати[редактиране | редактиране на кода]

Операторът на д'Аламбер в сферични координати:

в цилиндрични координати:

в общи криволинейни координати (за пространство-време):

където е детерминанта на матрицата , съставена от коефициентите на метричния тензор .

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. S. Siklos. The causal Green’s function for the wave equation. // Посетен на 17 август 2017.
Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „d'Alembert operator“ и страницата „Оператор Д’Аламбера“ в Уикипедия на английски и руски език. Оригиналните текстове, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за творби създадени преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналните страници тук и тук, за да видите списъка на тeхните съавтори.