Осемдесетоъгълник

Осемдесетоъгълникът (също и октаконтагон, от старогръцки: ὁγδοήκοντα^[1]) е многоъгълник с 80 страни и ъгли.^[2]^[3] Сборът на всички вътрешни ъгли е 14040° (78π). Има 3080 диагонала.

Правилен осемдесетоъгълник

При правилния осемдесетоъгълник всички страни и ъгли са равни. Вътрешният ъгъл е 175,5°, а външният и централният – 4,5°.

Формули

${\begin{aligned}A=20t^{2}\cot {\frac {\pi }{80}}=\cot {\frac {\pi }{40}}+{\sqrt {\cot ^{2}{\frac {\pi }{40}}+1}}=&20\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt {\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\right)^{2}+1}}\right)t^{2}\\=&20\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt {\left(\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)+\left({\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\right)\right)^{2}+1}}\right)t^{2}\\=&20\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt {\left(\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)^{2}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\left({\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\right)+\left({\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\right)^{2}\right)+1}}\right)t^{2}\\=&20\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt {\left(\left(11+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\left({\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\right)+\left(12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\right)+1}}\right)t^{2}\\=&20\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt {\left(23+8{\sqrt {5}}+2\cdot {\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\left({\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\right)\right)+1}}\right)t^{2}\\=&20\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt {24+8{\sqrt {5}}+2\cdot {\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\left({\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\right)}}\right)t^{2}\end{aligned}}$

$r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{80}}$

${\begin{aligned}R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{80}}={\frac {\sqrt {\left(\cot {\tfrac {\pi }{80}}\right)^{2}+1}}{2}}t\end{aligned}}$

$\sin {\frac {\pi }{80}}=\sin 2.25^{\circ }={\frac {1}{8}}(1+{\sqrt {5}})\left(-{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}-{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})\left(2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}\right)$

+{\frac {1}{4}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}(5-{\sqrt {5}})}}\left({\sqrt {(2+{\sqrt {2}})\left(2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\right)

\cos {\frac {\pi }{80}}=\cos 2.25^{\circ }={\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(4+{\sqrt {2\left(4+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right)}}\right)}}}}

Построение

Тъй като 80 = 2⁴ × 5, т.е. произведение от степен на двойката и просто число на Ферма, правилен осемдесетоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел.^[4]