Петоъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето
Правилен петоъгълник

Петоъгълникът (също и пентагон, от старогръцки: πεντα + γωνία – „пет“ + „ъгъл“) е многоъгълник с пет страни и ъгли.[1] Сборът на всички вътрешни ъгли е 540° (3π). Петоъгълникът е единственият многоъгълник с равен брой страни и диагонали – по 5.

Правилен петоъгълник[редактиране | редактиране на кода]

При правилния петоъгълник всички страни и ъгли са равни. Вътрешният ъгъл е 108°, а външният и централният – 72°. Диагоналите на правилния петоъгълник образуват петолъчна звезда, наречена пентаграм.

Лице[редактиране | редактиране на кода]

Лицето S на правилен петоъгълник може да бъде намерено по три начина:

  • По страната a:

Построение[редактиране | редактиране на кода]

Тъй като 5 е просто число на Ферма, правилен петоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:[2]

Regular Pentagon Inscribed in a Circle.gif

Използване[редактиране | редактиране на кода]

Петоъгълни пана[редактиране | редактиране на кода]

15 познати петоъгълни пана

Възможностите за покритие на равнината с изпъкнали петоъгълници се изучават системно от началото на 20в., като в 2017 г. с помощта на компютър е доказано твърдението, че са възможни само 15 варианта.[3]

Tiling Dual Semiregular V3-3-4-3-4 Cairo Pentagonal.svg
кайрско петоъгълно пано
Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg
цветовидно петоъгълно пано
Tiling Dual Semiregular V3-3-3-4-4 Prismatic Pentagonal.svg
призматично петоъгълно пано

Непериодични моноедрични покрития[редактиране | редактиране на кода]

С петоъгълници могат да бъдат постигани пълни покрития с център на симетрия за всеки порядък над 2. [4]

Pentagonal tiling with 5-fold rotational symmetry.png
5-кратна ротационна симетрия
Hirschhorn 6-fold-rotational symmetry pentagonal tiling.svg
6-кратна ротационна симетрия (на Хиршхорн)
Pentagonal tiling with 7-fold rotational symmetry.png
7-кратна ротационна симетрия

Шестоъгълно-петоъгълни покрития на равнината[редактиране | редактиране на кода]

Разложения на шестоъгълник в петоъгълници

Лесно се установява, че шестоъгълник може да бъде разложен, и то по няколко начина, на комбинация от неправилни петоъгълници. Доколкото шестоъгълниците запълват равнината, това остава в сила и при разлагането им.

Pent-Hex-Type1-2.png
Покритие с един тип "половинка".
Pent-Hex-Type3-3.png
Покритие с един тип "третинка".
Pent-Hex-Type4-4.png
Покритие с един тип "четвъртинка".
Pent-Hex-Type3-9.png
Покритие със смесена комбинация (3+9).


Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Речник на българския език, том 12, стр. 325, БАН, 2004
  2. Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com
  3. Rao, Michaël (2017), "Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane" (PDF), Manuscript: 16, Bibcode:2017arXiv170800274R (неофициална публикация
  4. Klaassen, Bernhard. Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons. // Elemente der Mathematik 71 (4). 2016. DOI:10.4171/em/310. с. 137 – 144.