Платоново тяло

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Платоновите тела са правилни многостени, които се характеризират с еднакви правилни многоъгълници за стени и равни многостенни ъгли.

Съществуват само пет правилни изпъкнали многостена.

Oбяснението е в това, че за многостенен (телесен) ъгъл с n ръба, сборът от ръбните ъгли трябва да бъде по-малък от 360 градуса, като ъглите на правилните многоъгълници могат да бъдат само 108, 90 и 60 градуса, съответсващи на петоъгълник, четириъгълник и триъгълник. Tака в един връх на платоново тяло могат да се срещат 3 петоъгълника, 3 четириъгълника, и 3, 4 или 5 триъгълника. Поради тази причина съществуват само пет платонови тела (правилни многостени). Така подредени те се наричат: додекаедър (дванадесетостен), хексаедър или куб (шестостен), тетраедър (четиристен), октаедър (осмостен) и икосаедър (двадесетостен).


Платоново тяло Стени Брой стени Брой ръбове Брой върхове Брой стени през връх Повърхнина S Обем V Картинка
Тетраедър триъгълник 4 6 4 3 S = a^2\sqrt{3} V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} Tetrahedron.jpg
Хексаедър
(куб)
квадрат 6 12 8 3 S = 6a^2 \, V = a^3 \, Hexahedron.jpg
Октаедър триъгълник 8 12 6 4 S = 2a^3\sqrt{3} V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3} Octahedron.jpg
Додекаедър петоъгълник 12 30 20 3 S = 3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})} V = \frac{a^3(15+7\sqrt{5})}{4} Dodecahedron.jpg
Икосаедър триъгълник 20 30 12 5 S = 5a^2\sqrt{3} V = \frac{5a^3(3+\sqrt{5})}{12} Icosahedron.jpg

Свойства[редактиране | edit source]

Платоновите тела има множество интересни (нетривиални) свойства.

Дуалност на куб и октаедър

Тъй като са изградени от правилно разположени правилни многоъгълници, то центровете на стените им също образуват платонови тела. Така центровете на стените на куба образуват октаедър и, обратно, центровете на октаедър образуват куб. Аналогично свойство имат додекаедърът и икосаедърът. При тетраедъра се получава пак тетраедър. Това свойство се описва като 'дуалност' и то е израз на симетрията, присъща на трите различаващи се случая.

За платоновите тела е в сила една обща формула, свързваща броя на елеметите (стени, върхове, ръбове), от които са изградени; записана неформално тя има вида:

стени + върхове = ръбове + 2 .

Числото две е т.н. 'oйлерова характеристика' на общия клас, в който попадат и платоновите тела. Отношенията на дуалност са свързани също с тази формулата.

История[редактиране | edit source]

Правилните многостени стават известни като '(петте) Платонови тела', тъй като Платон обяснява с тях устройството на вселената. Това е направено в съчинения от него диалог "Тимей" [1] (IV в.пр.н.е.). Там четитрите стихии (земя, вода, въздух, огън) са предтавени съответно като състоящи се от кубове, икосаедри, октаедри, тетраедри. На оставащият пети многостен, додекаедърът, е приписано предтавянето на космоса като цяло.

На практика правилни многостени са били известни дълго преди появата на класическите цивилизации[2]. Схващането им като специален клас обаче е зафиксирано в традицията на питагорейците.

В книга XIII от "Елементи" на Евклид, са изследвани по- строго техните свойства и е приведено доказaтелство, че няма други освен вече известните пет[3].

Интересът към правилните многостени се завъща отчетливо през ренесанса. В края на 15в. пълният текст на платоновия диалог отново става достъпен. Йохан Кеплер обяснява хелиоцентричния модел предложен от Коперник като помества между орбитите на шестте известни планети платоновите многостени.

Обобщения[редактиране | edit source]

Обобщения на платоновите тела се правят по-различни начини, а те позволяват и, обратно, тяхното схващане като частни случаи. Така в средата на 19-и век Людвиг Шлефли намира обобщение за пространство с размерност 4: оказва се, че в този случай са възможни 6 тела - пет от тях са многомерни аналози на платоновите[4]. За пространства с по-голяма размерност възможните случаи са 3, съответстващи на видовете симетрия, която дуалностите разкриват.

Като обобщение на платоновите тела могат да се разглеждат и тела, чиито стени са правилни многоъгълници от няколко (т.е. един или повече) вида. Тогава към тях се присъединяват архимедовите тела, изграждани с такива стени от 2 или 3 вида: при тях всички ръбове и обемни ъгли остават равни, а симетриите им остават в същите класове .

Бележки[редактиране | edit source]

  1. Платон, Диалози, т.4, София: Наука и изкуство, 1990, с. 508 и сл.
  2. Lloyd D. R, (2012), How old are the Platonic Solids?, BSHM Bulletin: J. of the British Society for the History of Mathematics, 27:3, 131-140
  3. Заглавието Елементи е латински еквивалент на гръцкото стихии
  4. *Schläfli, Ludwig (1901) [1852], Graf, J. H., ed. (на German), „Theorie der vielfachen Kontinuität“, Republished by Cornell University Library historical math monographs 2010, Zürich, Basel: Georg & Co., ISBN 978-1-4297-0481-6, http://books.google.com/books?id=foIUAQAAMAAJ 

Вижте също[редактиране | edit source]

Външни препратки[редактиране | edit source]