Полилинейна алгебра

В алгебрата, полилинейната алгебра или многолинейна алгебра е екстензия на линейната алгебра, изучаваща полилинейни модули (виж също пръстенови модули и псевдопръстен в аналитичната алгебра и математическият анализ) и подлежащите им функции и изображения на няколко променливи.

Линейната алгебра е построена на концепцията за вектор и се развива върху теорията за векторните пространства, многолинейната алгебра надстроява, използвайки концепцията за p-вектора, p-векторни пространство (виж още Грасманова алгебра или още екстериорна алгебра)

Името произлиза от определението на полилинейните изображения, т.е. това са функции, линейни по всяка една от променливите си. В Грасмановата алгебра това са билинейните, полиуспоредните и квадратични форми, или дори 3D векторни фигури.

Основна роля в полилинейната алгебра за математическия анализ играят тензорното произведение, тензорите върху векторни пространства.

Основни понятия

Нека $M_{1},M_{2},...,M_{k},M,N$ са $R$-модули, където $R$ е комутативен пръстен с единица. Нека $\phi :M_{1}\times M_{2}\times \ldots \times M_{k}\mapsto M$ е изображение от декартовото произведение $M_{1}\times M_{2}\times \ldots \times M_{k}$ върху $M$. Изображението $\phi$ ще наричаме полилинейно изображение ако е изпълнено ${\begin{aligned}\phi (m_{1},\ldots ,m_{i-1},am_{i_{1}}+bm_{i_{2}},m_{i+1},\ldots ,m_{k})=\\=a\phi (m_{1},\ldots ,m_{i-1},m_{i_{1}},m_{i+1},\ldots ,m_{k})+b\phi (m_{1},\ldots ,m_{i-1},m_{i_{2}},m_{i+1},\ldots ,m_{k}),\forall a,b\in R,m_{i}\in M_{i}.\end{aligned}}$

Основна задача в мултилинейната алгебра е изучаването на полилинейни изображения да се сведе до изучаване на линейни изображения. При дадени $M$ и $\phi$ и някое полилинейно изображение $\psi :M_{1}\times M_{2}\times \ldots \times M_{k}\mapsto N$, да се намери единствен хомоморфизъм $f:M\mapsto N$, такъв че: $f\circ \phi =\psi$. Тогава записваме $M=M_{1}\otimes _{R}M_{2}\otimes _{R}\ldots \otimes _{R}M_{k}$ и $\phi (m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})=m_{1}\otimes _{R}m_{2}\otimes _{R}\ldots \otimes _{R}m_{k}$. Произведението $M=M_{1}\otimes _{R}M_{2}\otimes _{R}\ldots \otimes _{R}M_{k}$ наричаме тензорно произведение на $M_{1},M_{2},...,M_{k}$ относно $R$.

В геометрията

В някои аспекти полилинейната алгебра е вид геометрична алгебра. В математиката геометрична алгебра (geometric algebra, GA) на векторно пространство (space) е алгебра над математическо поле.

Виж още

• Хиперкомплексни числа

Литература

• Маклейн, С., Биркхоф, Г. (1974) Съвременна алгебра, София, Наука и изкуство.
• Кострикин, А., Манин, Ю. (1990) Линейна алгебра и геометрия, София, Наука и изкуство.
• Hermann Grassmann (2000) Extension Theory, American Mathematical Society. Translation by Lloyd Kannenberg of the 1862 Ausdehnungslehre.
• Fleming, Wendell H. (1977). Exterior algebra and differential calculus. Functions of several variables (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90206-6. OCLC 2401829.

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.