Полилинейна алгебра

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

В алгебрата, полилинейната алгебра или многолинейна алгебра е екстензия на линейната алгебра, изучаваща полилинейни модули (виж също пръстенови модули и псевдопръстен в аналитичната алгебра и математическият анализ) и подлежащите им функции и изображения на няколко променливи.

Линейната алгебра е построена на концепцията за вектор и се развива върху теорията за векторните пространства, многолинейната алгебра надстроява, използвайки концепцията за p-вектора, p-векторни пространство (виж още Грасманова алгебра или още екстериорна алгебра)

Името произлиза от определението на полилинейните изображения, т.е. това са функции, линейни по всяка една от променливите си. В Грасмановата алгебра това са билинейните, полиуспоредните и квадратични форми, или дори 3D векторни фигури.

Основна роля в полилинейната алгебра за математическия анализ играят тензорното произведение, тензорите върху векторни пространства.

Основни понятия[редактиране | редактиране на кода]

Нека са -модули, където е комутативен пръстен с единица. Нека е изображение от декартовото произведение върху . Изображението ще наричаме полилинейно изображение ако е изпълнено

Основна задача в мултилинейната алгебра е изучаването на полилинейни изображения да се сведе до изучаване на линейни изображения. При дадени и и някое полилинейно изображение , да се намери единствен хомоморфизъм , такъв че: . Тогава записваме и . Произведението наричаме тензорно произведение на относно .

В геометрията[редактиране | редактиране на кода]

В някои аспекти полилинейната алгебра е вид геометрична алгебра. В математиката геометрична алгебра (geometric algebra, GA) на векторно пространство (space) е алгебра над математическо поле.

Виж още[редактиране | редактиране на кода]

Литература[редактиране | редактиране на кода]

  • Маклейн, С., Биркхоф, Г. (1974) Съвременна алгебра, София, Наука и изкуство.
  • Кострикин, А., Манин, Ю. (1990) Линейна алгебра и геометрия, София, Наука и изкуство.
  • Hermann Grassmann (2000) Extension Theory, American Mathematical Society. Translation by Lloyd Kannenberg of the 1862 Ausdehnungslehre.
  • Fleming, Wendell H. (1977). Exterior algebra and differential calculus. Functions of several variables (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90206-6. OCLC 2401829.