Равномерна непрекъснатост

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Функцията е равномерно непрекъсната ако малки промени по (които ще бележим с ) отговарят на малки промени по ординатата (които ще бележим с ) – което изразява условието за непрекъснатост – и освен това, трябва да не зависи от х, а само от . По-точно, една функция е равномерно непрекъсната, ако за всяко ε>0, съществува δ>0, такова че от |x-y|<δ да следва |f(x)-f(y)|<ε.

Всяка равномерно непрекъсната функция е непрекъсната, но обратното твърдение е невярно. Като пример може да бъде дадена функцията в областта на положителните реални чесла. Тази функция е непрекъсната, но не е равномерно непрекъсната, защото когато x клони към 0, f(x) нараства неограничено – т.е. малки промени по х „близо“ до нулата и „далече“ от нея отговарят на изменения в f(x) от различни порядъци. Ако обаче се знае, че е непрекъсната върху краен затворен интервал, то теоремата на Кантор осигурява равномерна непрекъснатост в този интервал.