Равномерна непрекъснатост

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Функцията f(x) е равномерно непрекъсната ако малки промени по x (които ще бележим с \delta) отговарят на малки промени по ординатата (които пък ще бележим с \epsilon) - което изразява условието за непрекъснатост - и освен това, \epsilon трябва да не зависи от х, а само от \delta. По-точно, една функция е равномерно непрекъсната, ако за всяко ε>0 , съществува δ>0, такова че от |x-y|<δ да следва |f(x)-f(y)|<ε.

Всяка равномерно непрекъсната функция е непрекъсната, но обратното твърдение е невярно. Като пример може да бъде дадена функцията f(x) = {1 \over x} в областта на положителните реални чесла. Тази функция е непрекъсната, но не е равномерно непрекъсната, защото когато x клони към 0, f(x) нараства неограничено - т.е. малки промени по х „близо” до нулата и „далеко” от нея отговарят на изменения в f(x) от различни порядъци.